Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец

• Автор: Косматов, Николай Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 61 с.

Оглавление
§0. Введение
Глава 1.
Предварительные сведения
§ 1. Расслоённое произведение колец
§2. Свойства функторов Ех1 и Тог
§ 3. Гомологические размерности модулей
§4. Гомологические размерности колец
Глава 2.
Оценки гомологических размерностей модулей над расслоённым произведением колец
§5. Критерии проективности, инъективности и плоскости
§6. Оценка инъективной размерности
§7. Оценка проективной размерности
§8. Оценка плоской размерности
Глава 3.
Оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец
§9. Оценки глобальной размерности
§ 10. Оценки слабой размерности
§ 11. Оценки финитных размерностей
§ 12. Примеры
Список литературы

Введение
Возникшая из методов алгебраической топологии, гомологическая алгебра сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина в сороковых-пятидесятых годах XX века. Уже в первой и основополагающей книге по гомологической алгебре А. Картана и С. Эй-ленберга [3], впервые опубликованной в 1956 году, были продемонстрированы широкие возможности её применения в различных разделах алгебры, например, при изучении групп, ассоциативных алгебр и алгебр Ли. К моменту выхода в свет в 1963 году нового изложения этой быстро развивавшейся ветви алгебы — монографии С. Маклейна «Гомология» [7] — важное место среди её приложений заняла и теория колец.
Многие известные классы колец были охарактеризованы в терминах гомологических размерностей. Так, полупростые кольца — это в точности кольца нулевой левой глобальной размерности, или, эквивалентно, нулевой правой глобальной размерности [3, следствие VI.2.7]. Наследственными слева являются те и только те кольца, левая глобальная размерность которых не превосходит 1 [3, предложение VI.2.8].
В пятидесятых годах М. Ауслендер, Д. А. Буксбаум [14] и Ж.-П. Серр [36] доказали, что коммутативное нётерово локальное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда его глобальная размер-
ность конечна [14, теорема 1.10]. В 1956-1957 годах в работах М. Ха-рады [22] и М. Ауслендера [13] было дано новое описание регулярных в смысле фон Неймана колец, введённых им в 1936 году, — они оказались кольцами нулевой слабой размерности [13, теорема 1].
Финитные размерности колец были впервые определены М. Ауслен-дером, Д. А. Буксбаумом [14] и Ж.-П. Серром [36] для изучения коммутативных нётеровых локальных колец. В 1960 году X. Басс [15] нашёл удобным их использование в случае произвольных колец и охарактеризовал с их помощью некоторые классы колец. Эти размерности особенно интересны при рассмотрении колец бесконечной глобальной или слабой размерности, так как финитные размерности таких колец могут принимать конечные значения (именно так обстоит дело и в нашем примере 12.1).
Появление категорно-гомологических понятий дало сильный импульс к развитию теории фробениусовых и квазифробениусовых колец, определённых Т. Накаямой в 1939-1941 годах. В ходе последовавших многочисленных исследований в этой области было, в частности, установлено, что условие квазифробениусовости кольца А равносильно требованию проективности всех инъективных (или, что эквивалентно, инъективности всех проективных) правых А-модулей [10, теорема 24.20].

Я является расслоённым произведением колец Я и /?2 над Д", поэтому наше утверждение следует из [18, теорема 2].
§6. Оценка инъективной размерности
Предложение 6.1. Пусть 0 —> М -4 Д -4 Д -4 ... — инъективная резольвента Я-модуля М с Ь-ой сизигией Кі = іт(/)+і),
п 1, к Є {1, 2}. Предположим, что при всех I — 0, 1, ... , п ійд([(Ех1д(Лй,А/)) п — I. Тогда для любого Ь = 0, 1, ... , п— 1 їдКк(Яотн(Як, їй)) < п - * - 1.
Доказательство. Проведём доказательство индукцией по £.

База индукции £ = 0. Так как 0 —> М —> /0 —4 Ко —> 0 — короткая точная последовательность в категории левых Д-модулей Д-Мой и /о инъективен, то по теореме 2.1 точна в Д.-Мос! последовательность 0 -4 Ношл(Д,,М) -4 Нотд(Д*,/0)
~4 Нотд(Дл-,Л'о) —* Ехі1н(Як,М) —э
и существуют изоморфизмы Дд-модулей
ЕхЬ1н(Як, К0) ~ ЕхДаМ), I 1. (6.1)
Обозначим Ак$ = іт /і„. Тогда короткими точными в Д*.-Мос1 являются последовательности:
О —Нотд(Дь М) —> НотЛ(ДЬ Д) -4 —> 0, (6.2)