Абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов

• Автор: Любимцев, Олег Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 70 с.

5ортгшдр
Абелевы группы составляют один иа важнейших классов групп, и их теория достаточно хорошо разработана. Глубокие структурные результаты были пблучены Прюфером, Ульмом, Куликовым для периодических абелевых групп, что позволяет решать многие задачи для этого класса абелевьгх групп. Для абелевых групп без кручения положение иное; даже для групп без кручения конечного ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Начало теории абелевых групп без кручения положили работы Понтрягина [1По], Мальцева С1Ма], Куроша С1Кур], Лэрри С 2Де].
Важной задачей теории абелевых групп является поиск точных соотношений между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов, в частности, какое влияние оказывает кольцевая структура кольца эндоморфизмов на соответствующие группы. Имеется ряд классов колец, строение которых достаточно хорошо изучено. Можно было бы исследовать их роль как колец эндоморфизмов. Эта программа, предложенная Селе [28е], послужила началом многочисленных исследований в этом направлении. Значительных успехов в рассмотрении связей между свойствами группы и свойствами ее кольца эндоморфизмов достигли Рангсвами, Шульц, Альбрехт, Иванов, Крылов и другие авторы Сем. [1МиМЗ, 11Ф2П.
Интересен также вопрос о взаимоотношении абелевой группы и ее полугруппы эндоморфизмов. Ясно, что полугруппа эндоморфизмов Е'СО дает, вообще говоря, меньше сведений о груп-

ne G, чем кольцо эндоморфизмов ECG). Несмотря на этот факт, в этом направлении также получен ряд интересных результатов. Например, если полугруппа эндоморфизмов конечной абелевой группы G изоморфна полугруппе эндоморфизмов некоторой Сне обязательно абелевой) группы Н, то группы G и Н изоморфны С [Шуи, теорема 4.2).
Ä. В. Михалев указал на заметную роль мультипликативных свойств в структурной теории колец Ст.е. свойств, выразимых в языке мультипликативной полугруппы кольца). С этой точки зрения особый интерес представляет вопрос о том, когда все мультипликативные изоморфизмы кольца являются кольцевыми изоморфизмами С1Мих13. Такие кольца называются кольцами с однозначным сложением, или кратко UA-кольцами (см. С1Мих13, [2J], [2MaJ, [ 2Ri J, [2StJ, [HNeD. В теории колец эндоморфизмов линейных пространств и модулей этот вопрос затрагивался в работах С1Гл13, [1Гл2], [1Мих2], [1МихЗЗ.
Настоящая работа посвящена изучению абелевых групп, имеющих UA-кольца эндоморфизмов, а также близких вопросов. Цель работы: исследовать абелевы группы с UA-кольцами эндо-
морфизмов в некоторых известных классах абелевых групп. Рассмотреть отдельные вопросы, касающиеся взаимосвязи абелевой группы G и ее полугруппы эндоморфизмов E'CG), в случае, когда G принадлежит классу сепарабельных групп без кручения; классу алгебраически компактных групп без кручения.
Научная новизна и практическая ценность: все результаты диссертации являются новыми. В работе
1. Получено удобное описание абелевых групп с UA-кольцами
эндоморфизмов в следующих классах аоелевых групп: сепара-
бельных и векторных группах без кручения, периодических группах, нередуцированных расщепляющихся смешанных группах. Вышеназванные группы исследуются также в некоторых классах абелевых групп без кручения конечного ранга.
2. Выделен класс сепарабельных абелевых групп без кручения 0, мультипликативная полугруппа эндоморфизмов которых обладает следующим свойством: для всякого сложения + на полугруппе Е'СС) кольцо СЕ46), +) является кольцом эндоморфизмов некоторой абелевой группы.
3. Исследуется вопрос определяемости алгебраически компактных абелевых групп без кручения своими полугруппами эндоморфизмов.
Работа имеет теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при изучении мультипликативных свойств колец эндоморфизмов абелевых групп и модулей.
Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по теории полугрупп (Санкт-Петербург 1993 г.), на алгебраических семинарах МГУ, МПГУ, НПГУ и содержатся в работах С Л1] - ЕЛ8].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Себельдину Анатолию Михайловичу, за внимание к работе, советы и указания.
кольца '£) Кроме того, целое р-адическое число определяется некоторой канонической последовательностью Сх*>, а именно, это последовательность, все члены которой удовлетворяют условию: если последовательность <хп> задает некоторое целое р-адическое число, то х = х* Стоб рп+13 и 0 < х* < рп+1
г п п - п г
Сем. напр. , [1БШЗ. Полагаем оС?) = сСрЗ = рСеЗ. Далее, определим оСг): оСг) = г3, где з = Ср~13Срк) + 1. Легко видеть, что (з, (рСрп)) = 1 для любого п € ЕМ. Кроме
того, имеем: иСО*) = Др_1 © I (причем, если р = 2, то
иссР) = 2„ © 1„3. Следовательно, отображение биективно отображает группу единиц исСГД в себя, и, очевидно, оно

мультипликативно.
Покажем, что построенный т-автоморфизм не является
кольцевым автоморфизмом. В самом деле, для элемента д* = с д, д, ... , д, ...з из &* Ср * 2), где д - образующий элемент группы 0'С 2рк+13, имеем;
сСд*) = сСд-1) * д-сСи = д#, поскольку Ср-13#?С рк3 < р(рк+13.
Если р = 2, то
оСЗ-13 * 5-0(13 = 3-1.
Заметим теперь, что элемент
£ = Ч’ Х:’ 'Хк-1' Хк' Хк+1' ‘ ‘ ) из (О* переходит в элемент
сСг) Схо, Х1, ... ,хк1, Хк, хк+1, ...),
т.е. Ыу есть т-автоморфизм, оставляющий неподвижными первые
к-компонент канонической последовательности элемента г.