Монотонные отображения матриц и операторов

• Автор: Ефимов, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с.

Оглавление
1 Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Краткое содержание работы

2 Аддитивные и линейные монотонные

отображения матриц

2.1 Линейные отображения

2.2 Аддитивные отображения

3 Нелинейные монотонные отображения

3.1 Спектральные ортогональные

разложения матриц

3.2 Биективные отображения
матриц индекса
3.3 Инъективные отображения
диагонализуемых матриц
3.4 Непрерывные отображения
комплексных матриц
4 Расширение группового порядка на линейные
операторы в банаховом пространстве

4.1 Определение группового порядка на линейных непрерывных
операторах в банаховом пространстве
4.2 Аддитивные монотонные отображения операторов
в гильбертовом пространстве
4.3 Монотонные отображения
на ортогональных идемпотентах
и их линейных комбинациях

Глава
Введение
1.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования
Диссертация посвящена изучению отображений матриц и операторов, монотонных относительно некоторых специальных частичных порядков. Исследуемые порядки были введены посредством групповой обратной матрицы, которая является одним из возможных обобщений понятия обратной матрицы на вырожденные матрицы.
Пусть Мп{¥) обозначает пространство квадратных матриц порядка тг с коэффициентами из поля F, СЬп{¥) — полная линейная группа (обратимые матрицы из М„(¥)), С -- поле комплексных чисел, через А обозначен определитель матрицы А, А* — транспонированная матрица. Через ДД будем обозначать матрицу с 1 в позиции (г, у) и нулями в остальных, Е - единичная матрица, через ЭреДЛ) обозначим спектр матрицы Л, то есть множество всех ее собственных чисел.

3. Итак, существуют такие ненулевые он, а2, • ■ ■, &п £ Д что Т2{Ец) = оцЕц для всех г = 1.2..... п. Докажем, что Т2(ЬД) = Ьгу Еу + СцЕр для некоторых Ьц 6 Р и £ Р при всех г, j = 1,2,, п, причем брСр = 0. Кроме того, если существуют* и у такие, что а,- ф ау, то для этих г и у справедливо ТД/Д) = 0.
а) Фиксируем произвольные различные г, у € {1, 2,..., п} и введем обозначение М = ТДЕр). Далее будем рассматривать наборы матриц вида А, В, Ец, .. ., Ец, ..., Е^,..., Епп, где Ли В ортогональны, имеют ранг и индекс 1, их тип (г, у) (символ X означает отсутствие матрицы X в наборе). Ясно, что все такие совокупности матриц являются В-наборами. Если же, кроме того, Т2(А) ф 0 и Т2(В) ф 0, то, с учетом теоремы 2.1.6, Т2(Л) и Т2(В) также имеют ранг и индекс 1 и ортогональны. В силу равенств ТфЕкк) — (УкЕкк при всех к = 1,2.... ,п, матрицы Т2(А) и ТфВ) имеют тип (г,у) в этом случае.
Пусть £ — некоторый ненулевой элемент ноля У. Д = (.Ец + Ец, Вг = —tEjj + Ер. Тогда Д и В/ ортогональны. Кроме того, они имеют ранг и индекс 1, так как £ ф 0. Если бы обе матрицы ТДД) и Т2(Д) были ненулевыми, то они имели бы ранг 1. Таким образом, если ранг одной из них больше 1, то другая обязана быть пулевой.
Докажем, что Т2(Д) ф 0 при £ / 0. Предположим, существует такое ненулевое £о С Е, что выполнено равенство Т2(А4о) — 0. Но ТДЛо) = аФоЕц + М, откуда М = -ац1йЕц. Тогда
гк Т2{В1) = гЦ-афЕ^ + М) =■ гк(-афЕ^ - аф0Ец) =
при любом £ ф 0. Следовательно, Т2(Д) = 0 при всех £ ф 0.
Покажем, что равенство ТДД) = 0 может выполняться не более, чем при одном значении £. В самом деле, если справедливы равенства