Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных почти простых группах

• Автор: Маслова, Наталья Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 63 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Определения, обозначения и вспомогательные результаты

§ 1.1. Предварительные сведения

§ 1.2. Теоретико-числовые определения, обозначения и вспомога-

тельные результаты

§ 1.3. Теоретико-групповые вспомогательные результаты

Глава 2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых классических группах

§ 2.1.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых линейных группах

§ 2.2. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых унитарных группах

§ 2.3.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых симплекти-ческих группах
§ 2.4. Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах нечетной степени
§ 2.5.Подгруппы нечетного индекса в конечных простых ортогональных группах четной степени
Глава 3. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных почти простых группах
§ 3.1. Случай конечного простого линейного, унитарного или сим-плектического цоколя
§ 3.2. Случай конечного простого ортогонального цоколя
§ 3.3. Случай знакопеременного цоколя

Введение
В начале 1980-х годов была анонсирована классификация конечных простых групп (ККПГ), одно из самых впечатляющих достижений математики XX века. В соответствии с этой классификацией, конечные простые группы подразделяются на следующие серии: циклические группы простого порядка, знакопеременные группы, классические группы, исключительные группы лиева ч ина и 26 спорадических групп (см., например, [3]).
Пусть О — конечная группа, р — простое число и |С[р — наибольшая степень числа р, делящая |С?]. Фундаментальная теорема Силова (1872 і'.) утверждает, что группа С содержит подгруппу порядка, равного |(7|р, и все такие подгруппы сопряжены в Є. Такие подгруппы называются силовекими р-подгруппами группы С. В 1963 г. Фейт и Томпсон |17| доказали разрешимость конечных групп нечетного порядка, решив тем самым знаменитую проблему Бернсайда. Как следствие; получается, что конечная неразрешимая группа имеет четный порядок. В частно отн, любая конечная неабелева простая группа имеет четный порядок и, следовательно, неединичную силовскую 2-подгруппу. Классификация конечных простых групп базируется на этом факте.
Подгруппа конечной группы (7, порожденная всеми ее минимальными неединичными нормальными подгруппами, называется цоколем группы Є и обозначается через ,чос((7). Конечная группа Є называется почти простой, если ее цоколь Ь есть неабелева простоя группа, т.е. Ь < Є < Аиі,(Ь) при отождествлении Ь с 1пп(Ь).
В постклассификационной теории конечных групп большое внимание уделяется изучению свойств (известных) конечных простых групп и групп их автоморфизмов, прежде всего подгрупповому строению н представлениям. Это связано с применениями классификации конечных простых групп, с необходимостью сс ревизии, с развитием ее связей с другими областями математики, а также с наличием многих вопросов о конечных простых группах, на которые классификация не даст ответа.
Максимальные подгруппы играют большую роль в теории конечных групп. Одним из магистральных направлений этой теории является изучение максимальных подгрупп конечных почти простых груші (см. [5]).
К настоящему времени проблема классификации максимальных подгрупп в
конечных группах с простым спорадическим цоколем решена для всех спорадических групп, кроме Монстра, для которого известны вес локальные максимальные подгруппы и многие нелокальные максимальные подгруппы, но пока работа не завершена. Большой вклад в эту работу внес Р. Уилсон [35].
Пусть С одна из групп Ап или действующих естественно на множестве 1 = {1, ...,га}, где п > 6. Доказанная с использованием ККПГ теорема О’Нэна-Скотта [32І у тверждает, что для любой подгруппы Н из (7, не содержащей Ап, либо Н содержится в некотором члене определенного семейства Д(б?) подгрупп из (7 (интранзитивных, импримитивных, аффинных, диагональных или сплетенных), либо Н принадлежит множеству 5 всех почти простых подгрупп из Є, действующих примитивно на I. Исправленные и модифицированные версии этой теоремы появились позже в статьях М. Ашбахера и Л. Скотта [13) и М. Либека, Ч. Прэ-гер и Я. Саксла [26]. Последняя статья была использована ее авторами [25] для следующей классификации максимальных подгрупп в <7: если 11 Є А(С1) и 5, то либо Н максимальна в АпН, либо Н < К < АпН, где (Н, К, п) принадлежит явному списку троек. Заметим, что за исключением нескольких случаев, элементы из Л(С) максимальны в (7.
Основной теоремой о подгруппах конечных классических групп остается теорема Ашбахера [10], которая является аналогом теоремы О’Нэна-Скотта.
Пусть Ь — простая классическая группа, ассоциированная с векторным пространством V размерности п над полем Рч порядка q, где д — степень простого числа р. Пусть X = РГЬ(У) — полная проективная полулинейная классическая группа, соответствующая Ь. Тогда Ь < X < АиЬ(Ь), причем X = АиЦЬ), за исключением случаев, когда Ь = РБЬ,,((/), Рвр^д) (д четно) или (д). В случае, когда Ь < Є < X, М. Ашбахср [10] определил большое семейство С(Є) естественных геометрически определенных подгрупп группы Є, которое было разбито им на восемь классов Сфб?) (1 < і < 8), называемых теперь классами Ашбахера. Теорема Ашбахера утверждает, что если Ь < Є < X, то для любой подгруппы Н из Є, не содержащей Ь, либо Н содержится в некотором члене семейства С (С), либо Н Є Б, где 5 — множество всех почти простых подгрупп К из (7 таких, что (проективное) представление подгруппы .чос(К) на V абсолютно неприводимо и не реализуется над собственным подполом поля Рч. Аналог этой теоремы справедлив также и для случая, когда А < О < Аи1{Ь) и С X. Дня групп Ь = Я*5Ап(д) или Р5ф4(д) (д четно) этот аналог доказал сам М. Ашбахер [10]. П. Клсйдман [20] классифицировал все максимальные подгруппы в группах С с цоколем, изоморфным РП8ь(д). 11. Клсйдман и М. Либек |23|, используя ККГ1Г, для

(д-1)'"%/2]!)2 _ (д-1)1г/
(11)2 21;/2] ' Поэтому |(7 : Н2 = 1 тогда и только тогда, когда (д — 1)2 = 2, т Предложение доказано.
. е. д = 3 (шос! 4).