Пересечение подгрупп в свободных конструкциях

• Автор: Захаров, Александр Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Пересечение подгрупп в свободных произведениях с объединенной нормальной конечной подгруппой

1.1. Введение

1.2. Основная теорема

1.3. Доказательство оценки основной теоремы

1.4. Граф подгруппы в свободном произведении групп

1.5. Доказательство неулучшаемости оценки основной теоремы

Глава 2. Пересечение свободных подгрупп в фундаментальных группах графов групп

2.1. Введение

2.2. Теория БассагСерра

2.3. Основные результаты
2.4. Доказательство теоремы 2.3.
2.5. Доказательство теоремы 2.3.
Глава 3. Ранг Куроша пересечения подгрупп в фундаментальных группах графов групп
3.1. Введение
3.2. Основные результаты
3.3 Доказательство основной теоремы
Литература
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
В диссертации изучается строение пересечения подгрупп в свободных конструкциях. Свободные группы и обобщающие их свободные конструкции являются одними из центральных объектов изучения в комбинаторной и геометрической теории групп. Классические результаты, касающиеся этих классов групп, можно найти в книгах [23], [25], [32], [4].
Свободные группы изучались в ряде работ Нильсена [28], [29], (30] и Шрайера [31], и остаются в центре внимания и по сей день. Геометрический подход к изучению подгрупп свободных групп, используютций методы теории графов, был предложен Столлингсом [33], и с тех пор активно и успешно используется.
Согласно теореме Нильсена-Шрайера [31], любая подгруппа свободной группы сама является свободной. Однако подгруппа конечно порожденной свободной группы не всегда является конечно порожденной. Именно, в свободной группе ранга к для к > 1 содержатся в качестве подгрупп свободная группа ранга п для любого натурального п и свободная группа счетного ранга.
Тем не менее, пересечение конечно порожденных подгрупп в свободной группе является конечно порожденной подгруппой. Этот результат был доказан Хаусоном [12] в 1954 году. Если в группе пересечение любых двух конечно порожденных подгрупп конечно порождено, то говорят, что эта группа обладает свойством Хаусона. Таким образом, свободные группы обладают свойством Хаусона, однако далеко не

все группы обладают этим свойством (см., например, [19]).
Естественным является вопрос о ранге пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной группы. В 1957 году Ханна Нейман [27] доказала следующую оценку для ранга пересечения подгрупп свободной группы:
г (Я ПК) <2 7{Н)г{К).
Здесь г{Н) = тах (г(Н) — 1,0) — редуцированный ранг свободной группы Я, г(Н) — ранг свободной группы Я. Кроме того, Ханна Нейман сформулировала гипотезу о том, что при тех же условиях выполняется оценка
г(Я П К) sg r{H)r{K).
Гипотеза Хайны Нейман оставалась открытой на протяжении десятилетий и была доказана в 2011 году независимо Игорем Минеевым [26] и Дж. Фридманом [10]. Легко видеть, что эта оценка уже является неулучшаемой.
Большое количество работ в комбинаторной теории групп посвящено переносу некоторых свойств свободных групп на более широкие классы групп, обобщающие свободные группы. Одним из естественных обобщений свободных групп является свободное произведение групп. Структура подгрупп свободных произведений описывается теоремой Куроша [21]. Следствием этой теоремы является тот факт, что подгруппы свободных произведений, тривиально пересекающиеся с сопряженными к сомножителям, являются свободными. В 1999 году С.В. Иванов [13] доказал следующий результат, аналогичный неравенству Ханны Нейман в свободной группе, для таких подгрупп свободных произведений. Пусть G = Gi * G2, Я и К — конечно порожденные подгруппы В G, тривиально пересекающиеся С сопряженными К G И (?2-Тогда
г(ППК) < 6г(Н)г(К).
В 2008 году У. Дикс и С.В. Иванов [7] доказали более точную оценку для ранга пересечения подгрупп свободных произведений, тривиально пересекающихся с сопряженными к сомножителям. Также С.В. Иванов [15] доказал более общую оценку для ранга Куроша пересечения подгрупп свободных произведений.

где £>п - диэдральная группа порядка 2п. Граф Ф(Я() изображен на рисунке 4.
* а а а
р • •—о—• •—о—* • • •—-о—• р
1 2 3 ‘ 71+
а ./ь-0-./ь-о-/Ъ • •—о—• ч
а а а

(Здесь вершины 1 рода обозначены символом •, а вершины 2 рода — символом о; остальные обозначения аналогичны обозначениям предыдущих рисунков. Вершины 2 рода, отмеченные одинаковыми буквами (р и q), совпадают.)
Легко видеть, что Н[ имеет конечный индекс в С и тривиально пересекается с сопряженными к сомножителям С. Далее, рассмотрим в подгруппе Н[ слова
ио = (асас)ь, ии'2 = (асас)ЬаЬ,..., «4 = (асас)^" 1ь (1-26)
Заметим, что свободные порождающие в Н[ можно выбрать так, чтобы п элементов (1.26) входили в их число (для этого нужно соответствующим образом выбрать
максимальное поддерево в части графа Ф(7Д), отвечающей элементам (1.26)).
Пусть теперь подгруппа Н'2 С О' порождается следующими элементами:
ги'п из (1-26), (аЬ)асаг:,асаЬаЬп,аЬсас,(ас)^пь (1-27)
Граф изображен на рисунке 5.
а а * а а
<Х .Ж. ;ЖЖ

Легко видеть, что Щ имеет конечный индекс в С и тривиально пересекается с сопряженными к сомножителям С.
Покажем, что Н[Н2 = С. Действительно,
асас е П[, (аЬ)асас € Я' => асас, (аЪ)асас £ Н[Н'2 =» аЬ € П[Н'2.