Частично композиционные критические формации

• Автор: Коптюх, Диана Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 93 с.

Перечень определений и условных обозначений
Общая характеристика работы
Глава 1 Обзор результатов
Глава 2 Предварительные сведения
2 Л Методы доказательства
2.2 Используемые результаты
Глава 3 Общие свойства частично композиционных формаций
3.1 Определение и общие свойства О-композиционных формаций
3.2 Полная решётка формаций Ос0
3.3 Новая характеризация р-композиционных формаций
Глава 4 Минимальные О-композиционые наследственные не ф-формации
4 Л фПс0-критические формации
4.2 Общие свойства О-композиционных наследственных формаций
4.3 Описание минимальных О-композиционых наследственных
не ф-формаций
4.4 Существование минимальных О-композиционых наследственных не ф-формаций
Глава 5 Композиционные формации с-длины
5.1 Некоторые свойства композиционных формаций
5.2 Описание композиционных формаций с-длины
5.3 Описание композиционных наследственных
формаций сб-длины
Выводы
Список используемых источников
ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [14, 21, 24, 52, 67, 68], а по теории классов групп в [4, 25, 44, 55, 59, 64, 66].
Класс групп — совокупность групп, содержащая вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные ей.
П, ф, УХ — некоторые классы групп.
р, q, г— простые числа.
л(С) — множество всех различных простых делителей порядка группы
тг(3£)— объединение множеств тс(О) для всех групп в из множества групп 36.
0 — пустое множество.
© — класс всех групп.
91 — класс всех нильпотентных групп.
91* — класс всех квазинильпотентных групп.
91р — класс всех р-групп.
Ж — класс всех абелевых групп.
р — класс всех конечных простых групп.
— непустой подкласс класса .р.
(О) — класс всех групп, изоморфных группе в.
(X) — класс групп, порождённый 36.
К(в) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы И.
76(36) — объединение классов K(G) для всех Ge 36.
Q-группа — такая группа G,hto A"(G)ç;G.
©а — множество всех Q-rpynn.
H(3É) — класс всех таких групп, которые являются гомоморфными образами групп из 36.
R0( 36) — множество всех конечных подпрямых произведений всех групп из 36.
1 — единичная группа.
G5— S-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/MeSG,у — S-радикал группы G, то есть наибольшая нормальная S-подгруппа группы G.
Oq(G) — ©й-радикал группы G. Если Q=(B) ( Q=B'), то Oq(G) будем обозначать через 0B(G) ( 0B’(G)).
Op(G) — наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.
M [К]А — полупрямое произведение группы К с некоторой её группой операторов А.
O(G) — подгруппа Фраттини группы G.
F(G) — подгруппа Фиттинга (нильпотентный радикал) группы G.
F (G) — квазинильпотентный радикал группы G.
FP(G) — наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа группы G.
CG(H/K) — централизатор фактора Н/К в группе G.
Главный A-фактор группы G — такой главный фактор М/N группы G,4toX(M/N)=(A).
Fa(G) — пересечение централизаторов всех главных A-факторов группы G, если в G нет главных A-факторов, то по определению Fa(G)=G.

4.1.1. Теорема. Пусть 0 — полная решётка формаций такая, что Пс0с;0 и £Др0с=0 для всех р таких, что ZpeQ.. Пусть £ — минимальный □с0-спутник формации Ь — максимальный внутренний Ос0-спутник непустой формации ф. Формация 5" является Фос0-критической тогда и только тогда, когда о'=Пс01огшС, где в — монолитическая группа из ЗАФ с монолитом Р=С и либо ДА) является Ь(А)е-критической формацией при Х(Р)=(А)с£2, либо ДО') является И(П')е-критической формацией, если К(Р) не содержится в О.
Доказательство. Необходимость. Пусть § — Фпсе-критическая формация иб — группа минимального порядка из 5'Ф. Тогда О — монолитическая группа с монолитом Р=Са. Так как ОсОРоппСссУ и ОсЭРоппС не содержится в ф, то 86=Пс0£огтС. Пусть 76(Р)=(А). По лемме 3.2.3 формация ф обладает максимальным внутренним Т>с0-спутником Ь, причём Ь(А)=ф для любого А из {0'}и(£2Д) и Ь(2Р)= Дрф(гр) для всех р таких, что ZP<=Q, где ф — минимальный Ос0-спутник формации ф. В силу следствия 3.3.6 можем считать, что £2сД.
Пусть АеО. Тогда РсОг,(С) и, значит, С/Оа(С)еф=1ДО')- Допустим, что ДА)сй(А). Тогда каждый главный А-фактор группы С Ь-централен в в. Пусть Вб(£2пК(0))(А). В силу леммы 2.2.1 Рв(С/Р)=Рв(0)/Р и
С/РВ(С) = (С/Р)/Ри(С/Р) е Ь(В).
По лемме 3.1.2 Сеф, что невозможно. Следовательно, ДА) не содержится в Ь(А). Пусть Ь(А)=0. Тогда в силу леммы 3.2.3 А=2р, а из леммы 3.2.1 следует, что Zp<£K(ф) и, значит, Zp£ф. Так как 1реК(С), то Д2Р)^0. Поскольку 5^0, то по лемме 3.1.2 ДО')^0 и ZpeS■ Отсюда следует, что С=А и по лемме 3.2.1 ДА)=0£огт(А/А) — атом решётки 0, то есть ДА) имеет собственную лишь пустую 0-подформацию. Поэтому ДА) является Ь(А)е-критической формацией.