Бирациональная жесткость двух типов трехмерных многообразий фано с особенностями

• Автор: Гриненко, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

Оглавление
1 Введение
2 Элементы метода максимальных особенностей
2.1 Основные понятия
2.2 Свойства порога присоединения
2.3 Неравенство Нётера-Фано
2.4 Подсчёт кратностей пересечения. Квадратичное неравенство
2.5 Заключительные замечания о методе
3 Бирациональная жёсткость двойной квадрики с особой точкой
3.1 Основной результат
3.2 Максимальные особенности
3.3 Трудный случай
3.4 Откручивание автоморфизмов
3.5 Доказательство следствия
4 Бирациональная жёсткость двойного конуса
4.1 Описание двойного конуса
4.2 Описание бирациональных автоморфизмов
4.3 Основной результат
4.4 Максимальные особенности
4.5 Бесконечно близкие особенности
4.6 Максимальные кривые

4.7 Доказательство следствия
Список литературы

Глава 1 Введение
1. Среди множества различных алгебраических, дифференциальных и топологических структур, которые можно рассматривать на алгебраическом многообразии, одно из центральных мест занимает поле рациональных функций. Это объясняется тем, что оно, с одной стороны, является довольно ”грубым” объектом, так как инвариантно относительно перехода к открытому (в топологии Зарисского) подмножеству, и, с другой, заключает в себе весьма существенную информацию о самом многообразии. Изоморфизм полей функций двух многообразий индуцирует изоморфизм (в обычном, бирегулярном смысле) некоторых их открытых подмножеств, и наоборот. Такого сорта ”не всюду определённые” отображения называются бирациональными изоморфизмами и задают отношение эквивалентности в категории алгебраических многообразий. Раздел алгебраической геометрии, изучающий многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности, называется бирациональной геометрией.
Важнейшая из задач бирациональной геометрии - проблема рациональности. В наиболее общей своей постановке - описание многообразий, бирационально эквивалентных проективному пространству соответствующей размерности, - эта проблема исключительно трудна и решена только в размерности 1 и 2. Нетрудно видеть, что пространства глобальных сечений тензорных

Пусть теперь dimZ?g = 1. Тогда из (3.2.3) следует, что v > п. Поверхность Eq изоморфна квадрике в Р3, так что Pic(Eo) ~ Z ® Z. Линейная система |D°| при ограничении на Eq имеет тип (u0,Uq),Uq < Щ С другой стороны, ОГ(1д0 DQeq > V > п, что невозможно.
Остался трудный случай, когда Bq - точка, а Ду-ч - кривая (то есть So, Si ф 0).
3.3 Трудный случай
’’Трудность” этого случая объясняется следующими обстоятельствами. Пусть, например, нам требуется исключить максимальную особенность некоторой линейной системы |М| над точкой А. Для этого, следуя современной схеме исключения максимальных особенностей, нам требуется сделать две вещи: во-первых, с помощью неравенств Нётера-Фано показать, что два общих элемента Mi,М2 G |М| высекают кривую С — М о М2, имеющую высокую кратность в точке А; и, во-вторых, надо найти поверхность S (так называемую пробную поверхность), гладкую в точке А, не содержащую компонент кривой С и такую, что С о S < multpC.
В нашем случае в качестве пробных поверхностей удобно брать элементы класса |Pq(H) — До], где Н - образующая группы Пикара на исходном многообразии V, однако следующая очевидная лемма указывает на источник неприятностей :
Лемма 3.3.1 Пусть Z С Vo - неприводимая приведённая кривая, A £ Z П Eq - некоторая точка. Следующие условия эквивалентны:
(г) для любой поверхности S £ — Eq, проходящей через
точку A, Z С S;
(гг) к о