Исследование квадратичных форм Картана-Титса

• Автор: Колмыков, Владислав Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОТКЛОНЕНИЕ ФОРМЫ КАРТАНА-ТИТСА. ТОЧКА ПРИКОСНОВЕНИЯ
Введение
§1.1. Отделенные квадратичные формы
§1.2. Некоторые свойства вогнутых вершинных функций
§1.3. Понятие отклонения формы Картана-Титса
§1.4. Точка прикосновения
ГЛАВА 2. ФОРМУЛА ДЛЯ ОТКЛОНЕНИЯ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Введение
§2.1. Классы деревьев
§2.2. Выражение отклонения через другие характеристики дерева
§2.3. Множество отклонений деревьев
§2.4. Деревья с отклонениями 1 + 1 /п
§2.5. Отклонения и графы Дынкина
§2.6. Отклонения центрально-неотрицательно-определенных форм
ГЛАВА 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ ГРАФОВ
Введение
§3.1. Формулы, связанные с суммированием по путям
§3.2. Характеристические многочлены периодических циклических графов
§3.3. Устойчивость периодических циклических графов
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация в основном посвящена изучению свойств квадратичных форм Картана-Титса.
В начале мы приведем наиболее интересные результаты диссертации, чтобы сразу осветить основную проблематику наших исследований. Затем подробно опишем содержание диссертации по главам и параграфам.
Граф Кокстера - это конечный граф, каждому ребру которого сопоставлен элемент множества {3,4, 5
Среди графов Кокстера центральное место занимают простые и расширенные графы Дынкина (см.[3], с.241-248), т.е. связные графы Кокстера, для которых Вд > 0, соответственно Вд > 0 (последнее означает /хВд(х) > О Л Вд(х) — 0).
В диссертации изучается ’’мера отклонения” со (С) нулевого конуса Вд от диагонали пространства, на котором определена эта форма. Казалось бы, что простые и расширенные графы Дынкина должны играть скромную роль в этих вопросах: самое большее, что можно ожидать, - это какая-то особенность чисел и) (С). где С - граф Дынкина. Однако роль графов Дынкина оказывается неизмеримо большей.
Например, они ’’управляют” формулами, выражающими са(Т) через другие характеристики дерева Т: формулы различаются в зависимости от того, какому расширенному графу Дынкина ’’родственно”

дерево Т (множество Т всех деревьев естественно разбивается на 5 классов:
т = т) п & И Ь Ц?7
см. теорему 2.1.1 и замечание к ней, и для каждого класса существует своя формула, выражающая и>(Т) через другие характеристики дерева Т (теоремы 2.2.1 - 2.2.3)).
Удивительно и то, что графы Дынкина управляют решениями тео-ретико -графовых задач типа: найти все деревья, для которых си(Т) £ М, где М - некоторое подмножество К. Беря М равным [2;+оо], (2; +оо], Z, {1 + |гг€]М},и т.п. всякий раз удавалось найти (вообще говоря многозначную) операцию орм на множестве всех деревьев и набор Т>упм графов Дынкина так, что со(Т) £ М & Т £ ормупм), иными словами и~1(М) = ормупм) (см.теоремы 2.4.1. и 2.5.1.).
Приведем еще один интересный факт, связанный с понятием отклонения.
Среди рассматриваемых форм Картана-Титса мы выделяем класс .2, состоящий из неприводимых форм, сужение которых на диагональ пространства является неотрицательно-определенной формой. Оказывается, что
о;() П 2 = {1;2;3;4;б; Ч-оо}.
Множество {1; 2; 3; 4; 6; +00} часто появляется в разных вопросах математики. Например, {1; 2; 3; 4; 6; +00} - множество всевозможных периодов неустойчивости периодических циклических графов (это — один из результатов главы 3). Другой пример из классики: если п-рапговая решетка Г в КС устойчива относительно действия группы Вейля ПС а Су? ~ соответствующий граф Кокстера, то т(и, г) 6 (1; 2; 3; 4; 6; +00} V«, V £ V(Сщ) (см. [3], с. 163).
Понятие отклонения и> (С) (впервые введенное в [15]) в своей идее

Диагональ <і = д(КуУ>) пространства
цУ(О)
- это {ж £
КПС) |

хь Уи,и Є У(Є)} = {£е| Є К}, где е(и) = 1.
Ясно, что Во(е) — х((*) (эйлерова характеристика графа Є ([5], с.217)). Известно, что для связного графа Є имеем: х((7) > 0 С - дерево.
Определение. Форма Вс называется древесной, если С - дерево. Лемма 1.3.1. ([15]) Если Вд - неприводимая форма Картана-Титса, то Вс<1 > 0 если и только если Вд древесна. □
Сейчас мы введем ’’меру отклонения” нулевого конуса В0 “= {ж I В( х) = 0} древесной формы Картана-Титса В от диагонали д. Пусть Ка(@) = {ж Є Ку(с)| 1 < хи < а У и Є Е(С)}.
Определение. ([15]) Отклонением древесной формы Картана-Титса Вд (или дерева Кокстера Є) называется число
со (В) = со (Вс) = со(Є) = вир{а 1 < (5 < а =>-
=► УхеКр(С)Вс(х) > 0} Є К = К и {-ос; +оо}.
Замечание к определению отклонения. Положим [1, а) = 0 при а < 1. Если В — квадратичная форма, то, как обычно, запись В м> 0 означает Ухєм-{0}В(х) > 0. В этих соглашениях определение со(Є) можно переписать так:
и(С) = вир!« | Урф,а)Вс кр(С)> 0}.
Пример 4. Для графов £)п,Ё$ — Е% (их определение см. в [3], с.247,248) имеем: ш(£>п) = 2, ш(Ё6) = 3, со(Ё7) = 4, си(Ё8) = 6.
Доказательство. Хорошо известно, что если С Є {Е)п, Е$, £7, Е$}, то В с - одномерное подпространство в IIу (<Д
В натянуто на вектор ([ 2 2 ... 2 2 [), здесь координаты вектора

записаны в виде графа Т)п.