О двух теоремах для групп лиева типа и ассоциированных колец

• Автор: Радченко, Оксана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 56 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Гипотезы об усилении теоремы Брауэра о конечных простых группах

§1.1. Постановка задач

§1.2. Стандартные элементы и подгруппы групп Шевалле

§1.3. Теорема об ограниченности числа симплектических групп над полем четного порядка с заданным сс-

параметром вложения инволюции

§1.4. Унитарные группы над полем четного порядка

§1.5. сс—параметр вложения инволюции в конечных про-

стых группах с одним классом сопряженных инволюций

Глава 2. Аналог теоремы Херстейна о дифференцированиях локально нильпотентных матричных колец
§2.1. Задачи о йордановых и лиевых дифференцированиях
колец ЫТ(Г, К)
§ 2.2. Гиперцептральные дифференцирования и основные
теоремы
§2.3. Доказательство основных теорем
Список литературы
Наиболее употребительные обозначения

Введение
Традиционно, различные вопросы в теориях групп и колец приводят к вопросам структурного строения, описания автоморфизмов, а для колец также дифференцирований.
Давний интерес вызывает зависимость порядка конечной простой группы С от определенных подмножеств централизатора Сд(т) ее инволюции т. По классической теореме Брауэра [1] (1954 г.) существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. Обобщение разрабатывает В.П. Шун-ков. В [15] введен параметр вложения инволюции
*(СУ,т) = тах дСа(т) Г) (т°та)|.

В.П. Шунков анонсировал теорему [19]: существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.
В случае конечных групп эта теорема усиливает теорему Брауэра и основывается на следующем предположении.
Гипотеза (А). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и с заданным, конечным параметром вложения этой инволюции.
Усиленный вариант этой гипотезы высказал В.М. Левчук [34].
Гипотеза (В). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и заданным числом сопряженных и перестановочных с нею инволюций.
Очевидно, всякое семейство М конечных простых групп, дающее контрпример к гипотезе (А) или (Б), является бесконечным, а отбросив из М. любое конечное подсемейство, получим аналогичный контрпример. По модулю известной классификации конечных простых групп, группы лиева типа вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами, исчерпывают все конечные простые неабелевы группы.
В работах О.В. Головановой (Листовой), В.М. Левчука и А.Г. Лихарева гипотезы (А) и (Б) подтверждены для групп Шевалле над полем четного порядка исключительных типов и типа Ап, для знакопеременных групп и для простых групп с одним классом сопряженных инволюций [3], [4], [5], [13], [14]. Таким образом, исследование гипотез сведено к группам Шевалле, причем в случае основного поля четного порядка - к группам Шевалле классических типов.
В строении простой группы лиева типа важную роль играет
унипотентная подгруппа; для лиева типа Ап I - это группа унит-
реугольных матриц, изоморфная присоединенной группе кольца АТТ(п, К) нильтреугольных пхп матриц над полем К. Более общим является локально нильпотентное кольцо МТ(Г, К) (или АтТ(п, К) при Г = {1, 2, , гг}) всех финитарных нильтреугольных Г-матриц

Когда а\ ф 0, число решений системы (1.1) совпадает с числом решений системы
( = -1,
( а11 — а12
Ее первое уравнение имеет д — 1 различных корней ац в поле Уравнение «п —о1 = 1 приводится к виду а41 --Ь = 0 с 6 = 1 —а, причем Ь принимает (д — 1)/2 значений в GF(g). Следовательно, в этом случае число решений системы (1.1) равно
(д-1)(д+1) = д2-1.
Таким образом, приходим к формуле сс—параметра вложения инволюции
сс(С, 7Г) = 3 + (д + 1) + (д2 - 1) = д2 + д + 3.
Тем самым доказательство теоремы для унитарных групп завершено.
Точные значения сс—параметра вложения инволюции для групп Сузуки и Ри
В группе Сузуки С? = £>-г(д), д = 22п+1, п > 1 унипотентная подгруппа и = и(д) определяется парами (а, (3) над полем GF(g),