Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебраических многообразий и проблема рациональности

• Автор: Пухликов, Александр Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с.

ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА РАН
На правах рукописи
Пухликов Александр Валентинович

БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ МНОГОМЕРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ И ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНОСТИ
01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва
Оглавление
0. Введение
1. Общая теория
1.1. Фано-расслоения и их бирациональные соответствия
1.2. Язык дискретных нормирований
1.2.1. Геометрические дискретные нормирования
1.2.2. Кратности
1.2.3. Разрешение
1.2.4. Структура ориентированного графа
1.2.5. Кратности в терминах разрешения
1.3. Неравенство Нетера-Фано
1.4. Техника подсчета кратностей
1.4.1. Пересечения, степени и кратности
1.4.2. Основное вычисление
1.4.3. Следствия
1.5. Техника пробных поверхностей
1.5.1. Конус над кривой
1.5.2. Прямой образ дискретного нормирования
1.5.3. Алгебраические семейства циклов на многообразиях
1.5.4. Доказательство предложения
1.5.5. Доказательство предложения
1.5.6. Рациональные кривые с предписанными ветвями
2. Бирационально жесткие многообразия Фано
2.1. Двойные накрытия индекса
2.1.1. Основной результат

2.1.2. Исключение максимальных циклов
2.1.3. Исключение бесконечно близкой особенности
2.2. Двойные пространства с особенностью
2.2.1. Основной результат
2.2.2. Исключение максимальных циклов
2.2.3. Исключение бесконечно близкой максимальной особенности
2.3. Гиперповерхности степени М в Рм
2.3.1. Регулярные гиперповерхности Ум С Рм
2.3.2. Исключение максимальных циклов
2.3.3. Исключение бесконечно близкого случая
3. Бирационально жесткие Фано-расслоения
3.1. Трехмерные многообразия с пучком поверхностей
Дель Пеццо
3.1.1. Определения и общие факты
3.1.2. Формулировка основного результата
3.1.3. Максимальные кривые
3.2. Исключение максимальной особенности для пучков поверхностей степени 1
3.2.1. Сверхмаксимальная особенность
3.2.2. Разрешение
3.2.3. Подсчет кратностей
3.3. Исключение максимальной особенности для пучков кубических поверхностей I.
Существование прямой
3.3.1. Сверхмаксимальная особенность
3.3.2. Существование прямой
3.3.3. Случай единственной прямой
3.3.4. Случай двух прямых
3.3.5. Случай трех прямых
3.3.6. Случай шести прямых
3.4. Исключение максимальной особенности для пучков кубических поверхностей II.
Основная конструкция
3.4.1. Описание основной конструкции

1.2.3. Разрешение
Пусть X — произвольное квазипроективное многообразие, и Є ЛҐ(Х) — дискретное нормирование, В — Z(X1v) <£ SingX, codirnH > 2.
Предложение 1. Реализуется в точности одна из двух возможностей: либо v — vb, либо при раздутии
ов : Х{В) -+ X U U
Е(В) -+ В,

Е(В)=оЪВ),
мы получаем v € Jf(X(B)), Z(X(B), и) С Е(В) — неприводимый цикл коразмерности >2 и
aB(Z{X{B),u)) = B.
Доказательство: это очевидно.
Рассмотрим последвательность раздутий
Pi,i— 1 дб-і > Xi_l

Ег —> В,
і > 1, где Хо = Х,>г:,-1 раздувает цикл Д;_і = Z(Xi-,v) коразмерности > 2, Ei = (Д-i) С X,
Положим также для і > j
pi,j — Pj+lJ о О Pi,і—1 Xj X
Pi,І = idxi
Для цикла (...) его собственный прообраз на X,- обозначается добавлением верхнего индекса г: (...)*.
Заметим, что <дг-,у(Д') = Bj Для > J
Заметим также, что хотя все X,-, вообще говоря, имеют особенности, Д (£ Sing Xj для всех г.