Положительные элементы и рациональные множества в группах

• Автор: Воронина, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 66 с.

ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ВИДА В ГРУППАХ
1.1 Основные определения
1.1.1 Порождающие множества
1.1.2 Положительные элементы в группах
1.1.3 Положительные элементы в свободных абелевых группах и
векторных пространствах
1.2 Одновременное приведение элементов абелевых групп и
векторных пространств к положительному виду
1.2.1 Основные определения
1.2.2 Необходимые факты геометрического характера
1.2.3 Основные результаты
1.3 Нильпотентные группы
1.3.1 Основные определения
1.3.2 Порождающие множества нильпотентных групп
1.3.3 Основные результаты
ГЛАВА 2 РАЦИОНАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА В ГРУППАХ
2.1 Основные определения
2.1.1 Рациональные множества
2.1.2 Группы Коксетера
2.2 О рациональных множествах разрешимых групп
2.2 1 Известные результаты
2.2.2 Основные результаты
2.3 О 4-порожденных прямоугольных группах Коксетера
2.3 I Известные результаты
2.3.2 Основные результаты
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. В настоящее время теория групп является одним из самых развитых разделов алгебры, имеющим многочисленные приложения как в различных областях математики, так и за ее пределами.
Одно из наиболее актуальных направлений исследований в теории групп определяется различными вопросами о каноническом представлении элементов группы и ее подмножеств тем или иным эффективным способом. Это определяет связь теоретико-групповых проблем с проблемами теории формальных языков.
Комбинаторная теория групп, основы которой изложены в монографиях Магнуса, Карраса, Солитера [27], Линдона, Шуппа [26], связана с представлениями групп через порождающие элементы и определяющие соотношения. Особое значение в ней придается конечным представлениям и соответственно конечно определенным группам. Многочисленные примеры таких групп представлены в книге Коксетера, Мозера [4]. Исторический обзор содержится в [31]. При данном подходе выделяются группы, допускающие нормальные формы элементов, эффективные переписывающие процессы и т.п.
Группы также могут задаваться порождающими элементами в некоторых известных группах - матричных, фундаментальных группах топологических пространств, группах, действующих на деревьях, группах автоморфизмов групп или других алгебраических структур и т.п.
Подмножества свободного моноида называется языками. Среди них выделяются, например, регулярные (рациональные) языки и их различные обобщения. Классическая теория полугрупп исследует регулярные множества и конечные автоматы. Теорема Клини устанавливает связь между этими понятиями. См. по этому поводу монографии [6], [9], [15], [24].
Данное направление получило также свое теоретико-групповое развитие. Во многом этому способствовали известные лекции Гилмана [7]. В теоретикогрупповом контексте одним из подходов является рассмотрение формальных языков вместе с гомоморфизмами в группы. В частности, одна из известных задач - нахождение формальных языков из некоторого класса (например, рациональных), которые отображаются на группу биективно. С другой стороны, рациональные множества можно рассматривать непосредственно в группах, являющихся частным случаем моноидов. Подобные исследования представляют самостоятельный интерес. Укажем, например [3], [10-11], [16-20], [28-29].
В настоящей работе изучаются положительные элементы свободных абелевых групп и группы Гейзенберга, а также рациональные подмножества разрешимых групп. Понятия положительного и потенциально положительного элемента свободной группы дано А. Мясниковым, В. ИГпильрайном в известном сборнике нерешенных проблем теории групп - «Open problems in combinatorial and geometric group theory» [1]. Нами рассматривается естественное обобщение этих понятий на произвольные группы. Мы также несколько изменили терминологию, говоря об элементах положительных относительно данной системы порождающих элементов и положительных элементах.
Основными результатами в этой части работы является критерий одновременного приведения к положительному виду конечного набора элементов свободной абелевой группы и описание положительных элементов группы Гейзенберга. Заметим, что группа Гейзенберга (свободная нильпотентная группа ранга 2 ступени нильпотентности 2) достаточно известна не только в математике, но и в физике. Группа Гейзенберга и ее обобщения используются в алгебраической геометрии, квантовой механике, ей посвящены специальные статьи и монографии.

ві) Начальные буквы слов w, и w[ различны.
в2) Начальные буквы слов w, и w[ совпадают.
В случае al) слово W - геодезическая (и отсюда вытекает противоречие), поскольку, если бы удалось выделить в слове W подслово ßal...alß, где /> 0, а все at,ß є [а, Ъ, с, d} - буквы, причем каждое (р{а,) коммутирует с (p{ß), то (так как и иг- геодезические) одна из букв ß должна была бы принадлежать части inv(u), а другая - v. Но если ß = а, то
одно из а,- равно d если ß = d, то одно из от,- равно а если же ß равно b или
с, то одно из ai равно а и одно из at равно d- противоречие.
В случае а2) положим для определенности, что слово имеет вид (1). Если Wj начинается с буквы с, то переносим её через w и присоединим к w'2 (элемент (p{cw'2) может быть записан словом вида (1)). В случае, когда к> 1, присоединим эту букву с к слову со' (элемент <р{ссо') может быть записан словом вида (3)). Эта операция не меняет элемент группы, представленной словом W. Аналогично, если слово w{ начинается с буквы Ь, то перенесем ее через м>х и присоединим к слову inv(w2) либо, при п — 1, к слову inv(co). Этим мы сводим все к уже рассмотренному случаю al); преобразованное слово W должно быть геодезической, но имеет ненулевую длину и представляет единицу группы Ch4. Противоречие.
В случае 61) произведение inv(wx)w имеет вид аса...аса (длина данного слова равна сумме длин w, и w[; она больше либо равна 3). Если, во-первых, w'2 начинается с буквы b (или к -1 и со равно Ъ или Ьс), во-вторых, w2 начинается с буквы b (или п = 1 и со равно Ъ или Ьс), то в слове W можно сократить одну пару букв Ь, и после этого получится нетривиальная геодезическая. Иначе W было геодезической с самого начала.
В случае 62) либо w, =w{ и тогда, по индукции, и = v, либо произведение
(p{inv{wx ))^(тг|) представляется словом z = (ac)1, I > 1, или словом