Рост в алгебрах Ли

• Автор: Петроградский, Виктор Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 182 с.

Оглавление
Введение
0. Обзор результатов
0.0. Общие определения, обозначения и соглашения
0.1. Подалгебры свободных супералгебр Ли и производящие функции
0.2. Рост конечно порожденных алгебр Ли
0.3. Рост конечно порожденных полинилыютентных групп и алгебр Ли . .
0.4. Функции сложности и рост коразмерностей
0.5. Числовые характеристики многообразий
0.6. Приложение для ассоциативных алгебр
1. Подалгебры свободных супералгебр Ли и производящие функции
1.1. Характеры супералгебр Ли и их универсальных обертывающих
1.2. Характеры свободных супералгебр Ли ....... , . . . . . . . . . .
1.3. Формула Шрайера для градуированных супералгебр Ли
1.4. Характеры и ряды Гильберта-Пуанкаре для разрешимых групп и супералгебр Ли
1.5. Характеры для ограниченных (сунер)алгебр Ли
1.6. Инварианты свободных супералгебр Ли
1.7. Свободные порождающие подалгебры инвариантов
2. Иерархия q—размерностей для конечно порожденных алгебр Ли
2.1. Шкала ^-размерностей
2.2. Рост универсальных обертывающих алгебр
2.3. g-размерности и рациональность для полинилыютентных алгебр
2.4. Значения ç-размерностей
3. Рост конечно порожденных полинилыютентных групп и алгебр Ли
и обобщенные разбиения
3.1. Рост полинилыютентных групп и алгебр Ли
3.2. Рост функций, аналитичных в единичном круге
3.3. Асимптотика для обобщенных разбиений
3.4. Асимптотика для рядов Гильберта-Пуанкаре
3.5. Рост р-центральных рядов для полинилыютентных групп

4. Функции сложности и рост коразмерностей
4.1. Функции сложности
4.2. Экспоненциальная формула Шрайера
4.3. Функции сложности нолинильпотентных многообразий
4.4. Быстро растущие целые функции
4.5. Рост коразмерностей универсальной обертывающей алгебры
4.6. Рост коразмерностей полинильпотентных многообразий
4.7. Верхние оценки на рост многообразий алгебр Ли
4.8. Асимптотика для и А
5. Числовые характеристики многообразий
5.1. Сложность многообразий алгебр Ли
5.2. Сложность произведения многообразий
5.3. Подмногообразия в NSA
5.4. Подмногообразия в AN
5.5. Подмногообразия в А3 .
6. Приложение для ассоциативных алгебр
6.1. Применение функций сложности для Т-идеалов ассоциативных алгебр
6.2. Производящие функции для алгебры верхнетреугольных матриц
6.3. Экспоненты подмногообразий в Us
Таблица 1. Рост полинильпотентных многообразий
Таблица 2. Примеры полинильпотентных многообразий
Список обозначений
Публикации автора по теме диссертации
Список литературы
Введение
Понятие роста, по-видимому, появилось в начале 50-ых годов в работах геометров: В. А. Ефремович предложил понятие инварианта объема ([58], 1953); а А. С. Шварц доказал, что инвариант объема компактного многообразия совпадает с ростом фундаментальной группы этого многообразия ([106], 1955). В работах Е. С. Голода и И. Р. Шафаревича асимптотические оценки позволили решить ряд фундаментальных проблем алгебры ([44], [43], 1964). В 1968 году работы Дж. Мил-нора [155] и Дж. А. Вольфа [176] о росте разрешимых групп и проблема Дж. Милнора о росте конечно порожденных групп [156] действительно привлекли внимание к росту групп. Далее, были совершены два значительных прорыва. А именно, М. Громов дал полное описание групп полиномиального роста ([132], 1981); и Р. И. Григорчук построил примеры групп промежуточного роста ([46], 1983).
Независимо понятие роста также возникло и в других разделах алгебры. Во-первых, И. М. Гельфанд и А. А. Кириллов использовали понятие роста для проблемы изоморфизма тел частных универсальных обертывающих алгебр ([128], 1966). Позднее В. Боро и X. Крафт начали изучение различных типов роста и предложили термин “размерность Гельфанда-Кириллова” для степени полиномиальности роста ([116], 1976). Во-вторых, В. Кац классифицировал простые градуированные алгебры Ли “конечного” (т.е. полиномиального) роста при некоторых дополнительных условиях ([63], 1968). Позднее эти условия были сняты в работе О. Матье ([154], 1992).
На данный момент число работ о росте в различных областях алгебры стремительно растет и трудно дать полный и систематический обзор. Назовем основные ссылки. Г. Краузе и Т. Ленаган собрали в небольшой монографии ([145], 1985) всю известную на тот момент времени информацию о росте и размерности Гельфанда-Кириллова, главным образом для аесопиативных алгебр. Исследования последнего времени существенно дополнили второе издание, вышедшее в 2000г. В частности, в него попали и формулировки некоторых результатов автора о ^-размерностях. Вопросам рациональности в алгебре и топологии посвящен обзор И. К. Бабенко ([31], 1986). Систематический обзор комбинаторных и асимптотических вопросов в алгебре сделан в обзоре В. А. Уфнаровского ([94], 1989).
В настоящей работе мы изучаем главным образом производящие функции и рост алгебр Ли, а также некоторые приложения для групп и ассоциативных алгебр. Объектом исследования являются два типа роста: 1) рост конечно порожденных алгебр Ли и 2) последовательность коразмерностей многообразий алгебр Ли. Термин ’’последовательность коразмерностей” был предложен А. Регевым ([163], 1971); на данный момент этот тип роста для ассоциативных алгебр достаточно хорошо изучен (см. обзор А. Регева [166]).

случаев, они не являются полными и удовлетворительными [30], [162], [86], [141], [139], [142]. Мы предложим другие аналоги формул Витта для свободной супералгебры Ли. Ваш подход основан на явной формуле производящей функции (характера) для всей свободной супералгебры Ли. Полученная формула оказывается также полезной для изучения инвариантов. Отметим также, что в [86] использовались характеры в случае действия симметрической группы, их определение отлично от нашего.
Пусть К<Х> — свободная ассоциативная алгебра, порожденная Г-градуиро-ванным множеством X. Рассмотрим пространство, натянутое на это множество V = (Х)к. Имеем
ОО ОС
■**<*> = = E(ch V)" = — = (1.3)
Теорема 1.1.1 позволяет легко вычислить характер свободной супералгебры Ли.
Теорема 1.2.1. Пусть L = Ь{Х) — свободная супералгебра JIu, порожденная Г-градуир о ванным множеством X — Ja€pXa, где полугруппа Г удовлетворяет условиям 1), 2), 3). Тогда
ckrI = -£^ln(l-chS?]X).
0=1 а
Доказательство. Хорошо известно [108], что универсальная обертывающая алгебра U(L) изоморфна свободной ассоциативной алгебре К<Х>, порожденной множеством X. Используем (1.3) и применим формулу обращения (теорема 1.1.1). Получаем
ch U (L) = chK = -—V—;
1 СД А
ch L = £ch um = £ (-^ ) — f ÜÖ» ho - chN .V).

Следствие 1.2.1. Пусть L = L(X) — свободная супералгебра Ли, порожденная Г-
градуир о ванным множеством X = Uaer-YQ. Рассмотрим градуировку L = ф ^=lLn, заданную нижним центральным рядом. Тогда
ehr Ln^-j:p{a){ch^xr'a.

Доказательство. Введем новую градуировку полугруппой Г' = Г х N так: для х £ Ха, а £ Г полагаем х £ X(ajy, также е((а, 1)) = с (а), а € Г. Обозначим е(0,П = t, получаем естественный изоморфизм Q[[r*]] ~ Q[[F]] Q[[i]] и ehr'А" = tchr-X".
Применим теорему для новой градуировки