Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты

• Автор: Гутерман, Александр Эмилевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 178 с.

0 Введение
1 Исторический обзор
1. Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты, и теория представлений
2. Общая постановка задачи
3. Основные методы решения
3.1 Теория классических групп
3.2 Проективная геометрия
3.3 Дифференциальная геометрия
3.4 Дуализации
3.5 Тензорное исчисление
3.6 Матричная комбинаторика
4. Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты над кольцами
5. Некоммутативные определители
5.1 Комбинаторный подход к определителю
5.2 Категорный подход к определителю
II Линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты над некоммутативными кольцами
7. Введение
8. Полулинейные отображения матриц над телом, сохраняющие определитель Дьедоине
9. Введение в линейную алгебру над некоммутативными кольцами

9.1 Линейная алгебра над некоммутативными локальными кольцами
9.2 Определитель над некоммутативным локальным кольцом
9.3 Определитель Аджамагбо
10. Полулинейные отображения матриц над локальными кольцами, сохраняющие вырожденность
11. Полулинейные отображения матриц над локальным кольцом, сохраняющие определитель Дьедонне
III Теория моделей и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты
12. Основные понятия теории моделей
13. Изложение основных понятий линейной алгебры
на языке теории моделей
14. Более короткие доказательства некоторых известных результатов
15. Примеры применения принципа переноса для получения новых результатов
16. Вещественно замкнутые поля
IV Метод матричных деформаций
и его применение к классификации линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты юо
17. Введение

18. Редукции к отображениям, сохраняющим нильпотентность
19. Характеризация матриц ранга 1
20. Матрицы с нулевым следом и различными собственными числами
21. Основная теорема
22. Характеризация множества матриц фиксированного ранга к
V Частичные порядки на матричных алгебрах
и линейные отображения, их сохраняющие
23. Введение
24. Техника редукций в матричных неравенствах
25. Отображения, сохраняющие минус-порядок
26. Сохранение свойства принадлежности определителя данному множеству
VI Результаты фробениусовского типа для матриц
над суперкоммутативным кольцом
27. Введение
28. Градуированные локальные кольца
29. Основные алгебраические структуры над 2г-градуи-рованными суперкоммутативными кольцами
30. Унимодулярные элементы в 72~градуированном локальном суперкоммутативном кольце
31. Ранг и его свойства

линейных отображений сохраняющих некоторое компактное множество, можно построить норму, использовав данное множество в качестве единичного шара, и охарактеризовав отображения, которые ее сохраняют, а потом получить классификацию в исходной задаче. Например, см. [72, 76], пусть с £ R", через U(c) обозначено множество всех эрмитовых матриц порядка п х п, вектор упорядоченных собственных значений которых равен v. Тогда линейный оператор Т, определенный на М„(С), переводит в себя множество К(с) тогда и только тогда, когда оператор Т* сохраняет так называемый с-численный образ матрицы, определяемый как множество WC(Ä) = {tr(diag (ci,..., cn)UAU*) : U*U = EA £ M„(С)}. Более того, отображение T сохраняет множество
V(c) = U jiU{c) тогда и только тогда, когда отображение Т* сохраняет Ы=
с-численный радиус А, т.е. величину гс(А) = шах{|д| : z £ WC(A)} для всех матриц А £ М„(С).
Таким образом, появляется возможность изучать какую-нибудь одну из целого множества связанных между собой проблем, а потом использовать полученные результаты для решения серии связанных задач, см., например [72, 73, 74, 76].
3.5 Тензорное исчисление
Тензорное произведение векторных пространств ViOVj® • • • ®Vp является линейным пространством. В этом пространстве есть некоторая дополнительная структура — каждому элементу можно сопоставить его ранг — рангом элемента а называется наименьшее такое число к, что а = д}®...®^ + ... + t>i®..,®Wp. Естественным образом возникает вопрос о линейных преобразованиях, переводящих тензоры фиксированного ранга к в тензоры ранга к. Заметим, что при р = 2 существует изоморфизм ffom(Vi, Vs) — Легко проверяется, что этот изомор-
физм переводит тензоры некоторого фиксированного ранга к в матрицы ранга к. Таким образом, вопрос классификации отображений, сохраняющих тензорный ранг, тесно взаимосвязан с вопросом классификации