Алгебры Йонеды алгебр диэдрального типа

• Автор: Балашов, Олег Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Резольвенты и сизигии
1.1. Формулировка основных результатов
1.2. Диаграммный метод
1.3. Серия Л(3/С)
1.4. Серия -О(ЗД)!
Глава 2. Образующие и соотношения
2.1. Предварительные сведения
2.2. Серия £)(3/С)
2.3. Серия П(ЗД)1
Литература

Введение
Гомологическая алгебра, возникшая в 1940-х гг. в алгебраической топологии, быстро нашла применения и в различных разделах алгебры. Классическими стали учебники А. Картана и С. Эйленберга [13] и С. Маклейна [15], не теряющие своей актуальности и до настоящего времени.
Важной областью, находящейся на стыке гомологической алгебры и теории представлений, является вопрос описания колец когомологий конечных групп. Один из самых известных и впечатляющих результатов в этой области — следующая теорема начала 1960-х гг.
Теорема 0.1. (Голод [10], Венков [6], Ивенс [42]) Пусть О — конечная группа, К — нетерово коммутативное кольцо. Тогда кольцо когомологий Н*(С, В.) нетерово.
Из данной теоремы вытекает, в частности, что кольца когомологий конечных групп могут быть записаны в терминах порождающих элементов (взятых в конечном числе) и соотношений. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области к настоящему моменту имеется множество результатов.

В 1980-х гг. понятия многообразия и сложности модуля, имеющих тесную связь с рядами Пуанкаре, также были успешно применены для решения данной задачи (см. монографию Д. Бенсона [25], а также работы Дж. Карлсона [30, 31], Д. Бенсона и Дж. Карлсона [27, 28], Дж. Альперина [18, 19], Дж. Альперина и Л. Ивенса [21, 22]). Кроме того, заслуживает упоминания диаграммный метод Д. Бенсона и Дж. Карлсона [28], берущий свое начало в работе Дж. Альперина [20]. Отметим также появление в 1970-х гг. теории М. Ауслендера и И. Рай-тен [23, 24], которая дала новый толчок развитию теории представлений.
Упомянутые выше методы (в числе других результатов) вошли в известные монографии Д. Бенсона [25, 26], А. Адема и Р. Милграма [17] (см. также библиографию в этих изданиях).
В 1980-х — начале 1990-х гг. К. Эрдманн в ряде работ [34, 36, 37, 38, 39] решила задачу классификации блоков групповых алгебр ручного типа представлений с точностью до Морита-эквивалентности, и систематизировала полученные результаты в монографии [40]. При этом был получен список базисных алгебр, каждая из которых определяется как алгебра путей некоторого колчана с соотношениями.
В настоящей диссертационной работе предлагается новый, унифицированный, подход к вычислению колец когомологий групповых алгебр ручного типа представлений. Так как известен полный список базисных алгебр, Морита-эквивалентных главным блокам групповых

Лемма 1.2.11. Пусть Л — конечномерная К-алгебра, М — цепной А-модулъ, М — U(Mo, Mi
Мт i— Mm—i i— — Ali i
Доказательство. Покажем, что модуль М является представлением для модульной диаграммы D(X, /), с графом Л": хт <— жт-1 -S— - 4-Xi 4- xq и функцией /, определенной следующим образом: /(ж,;) = Mi = Rad1 М/ Rad*+1 М, и значение f[e{xi,Xi+ )) € Еxt(Mi,Mi+i) функции / на ребре е(.х'(, Xi+) представлено короткой точной последо-вательностью
О-4Rad't+1 М/ Rad,:+2 М-4Rad* М/ Radi+2 М-4Rad* М/ Rad*:+1 М-р0.
Очевидно, таким образом определенные граф X и функция / удовлетворяют определению 1.2.1, и, следовательно, D(X, /) является Л-модульной диаграммой.
Далее, определим функцию U ьд Мц из определения 1.2.2 следующим образом. Если U — открытое множество в X, U — {хт, хт-
0 > Rad* М -4 Rad*“1 М -4 Л/; j 4 0.