Вероятностные методы в теории чисел и приложения в теории аргумента дзета-функции Римана

• Автор: Бояринов, Роман Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 277 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

1. О скорости сходимости распределений случайных величин

§ 1 О характеристической функции интервала

§ 2 Оценка скорости сходимости к предельному

показательному распределению

§ 3 Оценка скорости сходимости к предельному

нормальному распределению

§ 4 Оценка скорости сходимости в общем случае

2. О дробных моментах случайных величин

§ 1 Асимптотика дробных моментов для случая
показательного распределения
§ 2 Асимптотика дробных моментов для случая
нормального распределения
3. О распределении значений аргумента дзета-функции Римана на критической
прямой
§ 1 Определения и вспомогательные утверждения
3.1.1 Определение функций 5(1), 5Д1) и А(Т)
3.1.2 Простейшие свойства 5(1)
3.1.3 Несобственный интеграл, содержащий
функцию 5(1)
§2 Моменты функций |5(1)| и Si(t + h) — 5i(l)|
§3 Оценка числа перемен знака функции 5(1) на
коротких интервалах
§4 О распределении значений функций |5(1)| и
Si(t + h) — 5)(1)| на коротких интервалах
§5 О больших значениях функции 5(1) на коротких
интервалах
3.5.1 Верхняя и нижняя грани значений функции 5(1) на коротких интервалах
3.5.2 О распределении больших значений функции 5(1)
на коротких интервалах
§6 Изменение знака функции 5(1) на коротких
интервалах
4. О распределении нулей дзета-функции
Римана
§ 1 О нулях дзета-функции Римана большой кратности
§ 2 О больших расстояниях между последовательными
нулями дзета-функции Римана
§ 3 О верхних и нижних оценках суммы вида
Е (7n+i-7n)fc
0.5Т<7„<Г
§ 4 О числе промежутков Грама, содержащих ординаты
последовательных нулей дзета-функции Римана
5. Приложения для арифметических сумм

§ 1 Предельные теоремы для специальных
арифметических сумм
§ 2 Дробные моменты специальных
арифметических сумм
§ 3 Распределение абсолютных значений
тригонометрической суммы
Список литературы

Глава
О скорости сходимости распределений случайных величин
Одним из направлений современных исследований в аналитической теории чисел является изучение распределения арифметических функций. В 1952 году Г. Давенпорт и П. Эрдеш [11] доказали, что значения “коротких” сумм символов Лежандра распределены по нормальному закону. Эти исследования были продолжены Ю. В. Линником и И. П. Кубилюсом [70]- [72].
Первые результаты о распределении значений сумм арифметических функций с остаточным членом были получены А. Г. Постниковым и М. П. Минеевым. В 1960 г. А. Г. Постников [75] вывел закон распределения значений очень коротких рациональных тригонометрических сумм с показательной функцией в экспоненте. М. П. Минеев [79]—[81] и др. доказали новые метрические теоремы о тригонометрических суммах с быстрорастущими функциями. Отметим, что аналогичные исследования, связанные с поведением частичных сумм лакунарных тригонометрических рядов были проведены Р. Форте [83], М. Кацем [105], А. Зигмундом [118], И. А. Ибрагимовым [121], В. Ф. Гапошкиным [135]—[136] и др.