Об определимости понятия "быть свободной алгеброй" в бесконечных логиках и универсальные вложения групп

• Автор: Гороховская, Наталия Германовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
0 Введение
1 Об определимости понятия ’’быть свободной алгеброй” в бесконечных логиках
1.1 Некоторые бесконечные логики и критерии эквивалентности моделей
1.2 НЕ-логика. Некоторые алгебраические свойства, выразимые в НЕ-логике
1.2.1 Определение НЕ-логики
1.2.2 Интерпретируемость свободных конечно порожденных полугрупп, групп и колец в арифметике
1.2.3 Формульность конечно порожденных алгебр в НЕ-логике
1.2.4 Формульность свойства простоты для групп и колец
1.2.5 О формульности понятия ’’финитно аппроксимируемая группа”
1.2.6 Формульность понятия ’’нильпотентная аппроксимируемость”
для групп и колец
1.3 Постановка проблемы определимости
1.4 Об определимости понятия ’’свободная абелева группа” в бесконечных
логиках
1.4.1 Определение почти свободных групп
1.4.2 Сводка основных результатов по проблеме Е-эквивалентности
группы свободной группе и проблеме определимости
1.4.3 Свойство ’’быть свободной абелевой группой” не является определимым в ДЕ-логике
1.4.4 Счетная определимость понятия ’’свободная абелева группа” в
ДЕ-логике
1.5 Об определимости понятия ’’свободная группа” в бесконечных логиках
1.5.1 Теорема А.Меклера
1.5.2 Об определимости понятия ’’свободная группа” в НЕ-логике
1.6 Определимость понятия ’’быть свободной алгеброй” в бесконечных логиках
1.6.1 Необходимые сведения из теории алгебраических систем
1.6.2 Определения
1.6.3 Условие Ьоох- и Ац-эквивалентности произвольной алгебры
свободной алгебре данной сигнатуры
1.6.4 Технические результаты
1.6.5 Аналоги леммы Хигмана и критерия Понтрягина для универсальных алгебр
2 Универсальные классы групп и универсальные вложения
2.1 У—, 3 — , /Э— и ЗУ—формулы и их основные структурные свойства.
Примеры использования теорем об устойчивости
2.1.1 V—, 3 — , УЗ— и ЗУ—формулы

2.1.2 Примеры универсально аксиоматизируемых классов
2.1.3 Примеры классов, теории которых индуктивны
2.2 Ультрафильтры и ультрапроизведения
2.2.1 Локальные классы и теорема компактности
2.2.2 Примеры
2.3 Модельная полнота
2.3.1 Элементарные отображения
2.3.2 Определение модельно полной теории и критерий модельной полноты
2.4 Алгебраически и экзистенциально замкнутые системы
2.5 Универсальные вложения групп
2.6 Необходимые сведения из теории С-групп
2.6.1 Категория (7-групп
2.6.2 Аппроксимируемость и дискриминируемость
2.7 Характеризация универсальных вложений
2.8 Универсальные вложения для свободных произведений
2.9 Диофантовы предикаты
3 Литература

О Введение
Настоящая диссертация состоит из двух частей. Первая из них посвящена решению проблемы определимости понятия ’’быть свободной алгеброй” в бесконечных логиках. Во второй освещаются универсальные вложения групп.
В конце 40х - начале 50х годов теория моделей выделилась в самостоятельный раздел математической логики. Основополагающие работы по теории моделей логики первого порядка принадлежат Левенгейму, Скулему, Геделю, Тарскому, Мальцеву. Однако выяснилось, что многие важные свойства моделей не могут быть выражены на языке логики первого порядка ([НВоок]). В теории групп, например, к таким свойствам относится свойство свободы. Это обстоятельство-стимулировало развитие логик, допускающих бесконечные дизъюнкции и конъюнкции - логик Loox,x > oJ. Пусть х ~ бесконечный кардинал. Тогда Loox - это логика, формулы которой имеют дизъюнкции и конъюнкции по любому произвольному множеству формул и кванторы по множеству переменных, мощность которого меньше у. Так, например, все формулы логики Гоосч имеют лишь конечное число кванторов в подформулах. LW1U> - это логика, формулы которой В отличие ОТ Loox имеют ТОЛЬКО счетные (< bJi) дизъюнкции и конъюнкции и кванторы по конечному (< lo) числу переменных.
Впервые бесконечные логики были систематически изучены Карп ([Кагр2]). Мак-каи, Скотт, Малиц, Лопес-Эскобар работали над созданием теории моделей в логике ЬШ1Ш. Оказалось, что аналоги многих известных теорем логики первого порядка, например, теорем Левенгейма-Скулема, верны и в Критерий эквивалентности
моделей в логике первого порядка, разработанный Эренфойхтом, был адаптирован Карп [Karpl] для Гтои;, а Бендой [Ben] и Калаисом [Cal] для логики LooX, х > w. Однако, например, такой важный инструмент изучения свойств моделей, как теорема компактности, оказалось, не имеет аналога уже в логике LWiW. Д.Барвайс ([В]) ввел понятие допустимых фрагментов логики (и логики Loou,)- Теоремы Барвайса
о полноте и Е-компактности показали, что допустимые фрагменты обладают свойствами, аналогичными логике первого порядка.
В связи с последним фактом отметим, что в ряде работ А.Г.Мясникова и В.Н.Ремесленникова, а также в работах [НВоок, В] указывалось на естественность использования при изучении алгебраических объектов одного из фрагментов логики Lu, ~ HF-логики. При работе с HF-логикой для данной модели 21 рассматривается двуосновная модель Она строится на основе наследственно конечных мно-
жеств над основным универсумом модели 21 и называется HF-надстройкой модели 21. Надстройка HF{A) есть на самом деле минимальное допустимое множество с праэлементами из А. Поэтому для HF-логики автоматически справедливы многие логические результаты, описанные, например, в [В].
Использование мощных по выразительной силе бесконечных логик позволило получить ряд интересных результатов в различных областях. Остановимся подробнее на проблеме эквивалентности произвольной группы свободной группе и связанной с ней проблеме определимости свободных групп и свободных абелевых групп в бесконечных логиках.

1.6 Определимость понятия ’’быть свободной алгеброй” в бесконечных логиках
1.6.1 Необходимые сведения из теории алгебраических систем
В этом пункте, следуя А.И. Мальцеву [Mall], мы напомним способ задания алгебр с помощью порождающих и определяющих соотношений, а также понятие свободного произведения алгебр.
Задание алгебр с помощью порождающих и определяющих соотношений.
Универсальным способом задания алгебр является способ задания посредством порождающих и определяющих соотношений.
Рассмотрим алгебраическую систему А — (А, а), принадлежащую какому-то фиксированному классу алгебр /С. Выберем в А произвольную порождающую совокупность элементов ttj i £ 1 (не обязательно различных) и с каждым из этих элементов а,- свяжем особый предметный символ Z{. Берем, далее, какой-нибудь набор С формул вида
9 = h (14)
где д, h - термы сигнатуры а от предметных переменных Zi (г £ I).
Говорят, что совокупность порождающих символов Zi (г € I) и совокупность формул С являются определяющими совокупностями для системы в классе К в порождающих аг- (г € /), если
1. все формулы из С истинны в А при отображении л; —> аг (г £ I);
2. любая формула вида ( 14), истинная в при отображении л, —> cii (г £ /), является в классе 1C следствием совокупности формул С.
Формула Свободные произведения алгебр
Пусть заданы некоторый класс К- алгебр сигнатуры а и последовательность {А,г £ /} каких-то алгебр этой сигнатуры, не обязательно принадлежащих классу 1C. Система А сигнатуры о называется свободным произведением, системы в классе К, (1C-композицией), если она удовлетворяет следующим условиям
1. А е/с
2. существует такая система гомоморфизмов а,- : Ai —* А, что
• совокупность U А?' образов систем А{ в системе А порождает А;