Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения

• Автор: Добровольский, Николай Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 204 с.

Содержание
0.1 Предисловие
0.2 Введение
0.2.1 Решетки, многомерные квадратурные формулы и
гиперболическая дзета - функция решеток
0.2.2 Обобщенная гиперболическая дзета-функция решеток на пространстве СРЯе
0.2.3 Равномерное распределение и сетки
0.2.4 Апробация работы
' Пространство сдвинутых решеток
1.1 Метрики на пространстве сдвинутых решеток
1.2 Декартовы решетки
I Обобщенная гиперболическая дзета - функция решеток
2.1 Асимптотическая формула для гиперболической дзета
функции алгебраическох! решетки
2.1.1 Вычисление вспомогательных интегралов
2.1.2 Интегральное представление для £я(Л | а) алгебраической решетки А
2.1.3 Получение асимптотической формулы для гиперболической дзета - функции
2.2 Значения С(*/Ча;) ПРИ Л € PZS и а £ N
2.2.1 Ряд Фурье с положительными коэффициентами, связанный с полиномами Бернулли
2.2.2 Тригонометрические суммы решеток
2.2.3 Частные значения гиперболической дзета - функции
2.3 Аналитическое продолжение функции £я(А + Ь | а)

2.4 C#(Л | а) при а = а + it (а < 0) для решеток решений
сравнений
( Отклонение и квадратурные формулы
3.1 Отклонение и норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования
3.2 Метод Колмогорова-Рота получения нижних оценок отклонения
I Преобразования сеток
4.1 Группы арифметических и поразрядных сдвигов [0; 1)
4.2 Группы преобразований единичного s - мерного куба
4.3 Преобразование одномерных сеток
4.4 Преобразование многомерных сеток
S Классы функций и квадратурные формулы
5.1 Банаховы пространства AFS
5.2 Решетки и проекторы на прямой сумме пространств AFS
5.3 Вычисление нормы линейного функционала погрешности квадратурной формулы с паралелепипедальной сеткой
Библиография186
Указатель обозначений® соглашений

0.1 Предисловие
Данная диссертация посвящена рассмотрению ряда задач аналитической теории чисел, геометрии чисел, равномерного распределения и приложению полученных результатов к вопросам приближенного анализа.
Исследование проводится по трем новым направлениям: обобщенная гиперболическая дзета-функция решеток на метрическом пространстве сдвинутых решеток; р-преобразования 5-мерного единичного куба и орбиты сеток; средние по решетке для функций многих переменных. Решаются следующие проблемы: получение асимптотической формулы для гиперболической дзета-функции алгебраических решеток; построение аналитического продолжения обобщенной гиперболической дзета-функции декартовой решетки; сравнение средних арифметических отклонений сеток по орбитам для двух групп преобразований.
Автор выражает благодарность:
— своим учителям по теории чисел - профессорам А. А. Карацубе и
Н. М. Коробову, у которых начиналось теоретико-числовое образование автора;
— научному консультанту - профессору Н. М. Коробову за постоянное внимание, полезные советы и обсуждение на протяжении длительного периода (на семинаре профессора Н. М. Коробова по тригонометрическим суммам и их приложениям определились основные направления этого исследования и оттачивались методы его проведения);
— профессорам: С. М. Воронину - за полезное обсуждение темы исследования; С. Б. Стечкину - за полезные советы по содержанию работы; В. И. Нечаеву - за сотрудничество при подготовке по данной тематике аспирантов В.С.Ваньковой, А.Л.Рощени, И.Ю.Ребровой,
О. В. Р одионовой.

/ i1 ... О А
о л* ,
— произвольная диагональная матрица, й ... й$ ф 0.
Множество всех невырожденных вещественных диагональных матриц порядка в будем обозначать
Д:(к) = {£>(1
Относительно операции матричного умножения (к) — мультипликативная абелева группа.
Множество всех унимодулярных вещественных диагональных матриц £>£/<)(к) является подгруппой группы £>5(К). Кроме того,
£>х (к) = -ОС/Дк) х к+,
где изоморфизм ц> между £>5(к) и прямым произведением £>£ДЕ) X К+ устанавливается по правилу
= £>
* ’ &8
Обозначим через ОМ£>е{ К) множество всех диагональных матриц £>№
ЦО(аь
а через £>М*г(к) — множество всех диагональных матриц £>(б?1,.. ,с18) с

1 + С?1 ’ ’ 1 +
< е.