Алгебры общего положения

• Автор: Тевелев, Евгений Аркадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

§1. Введение
Постановка задачи.
Цель этой диссертации — изучение алгебр общего положения. Интерес к этому объекту обусловлен несколькими причинами.
С точки зрения теории инвариантов все неприводимые представления полупростых групп распадаются на две неравноправных группы. Существует очень небольшое “конечное” число представлений, для которых работают методы теории инвариантов, для них возможно детальное описание пространства модулей, нахождение представителей орбит, стабилизаторов, и т.п (см. [10]). Для основной же массы неприводимых представлений методы теории инвариантов не дают существенной информации, хотя эти представления иногда параметризуют очень важные объекты (такие, например, как гиперповерхности данной “большой” степени в проективном пространстве). В этой связи представляет интерес изучение “пограничных” представлений, для которых методы теории инвариантов уже не работают, но еще возможно применение других методов, таких, например, как теория дискриминантов. Представления полной линейной группы реализуются как тензоры, и простейшей мерой их сложности является ранг. Тензоры ранга 2, т.е. линейные операторы, квадратичные формы и кососимметрические 2-формы представляют собой архетипический объект теории инвариантов, которая в этом случае, по существу, совпадает с линейной алгеброй. Однако уже уже тензоры ранга 3, т.е. кубические формы, кососимметрические 3-формы и модули А2У* ® V и Б2У* <§) V антиком-мутативных и коммутативных алгебр с точки зрения теории инвариантов являются “дикими”. Так, для 3-форм теория инвариантов работает до п = 9, а для кубических форм, с некоторой натяжкой, до п — 4. В этой диссертации изучаются модули антикоммутативных и коммутативных алгебр. Получены результаты о соответствующих многообразиях модулей, о дискриминантах антикоммутативных и коммутативных алгебр, о геометрических свойствах алгебр общего положения, т.е. о таких свойствах, которые выполнены для всех алгебр, структурные константы которых принадлежат некоторому непустому открытому по Зарисскому подмножеству. Из результатов диссертации, относящихся непосредственно к теории инвариантов, нужно отметить

доказательство рациональности полей инвариантов представлений £5, которое получается вычислением многообразия модулей четырехмерных антикоммутативных алгебр двумя способами, а также замкнутую формулу для степеней дискриминантов некоторых ЭЬи-модулей — насколько известно автору, это единственная известная замкнутая формула, за исключением случаев, известных классикам. Получены также некоторые результаты о геометрии представления изотропии параболических подгрупп, в частности доказана локально-транзитивность этого представления, найдены представители открытых орбит. Найдено эффективное достаточное условие существования нулей у глобальных сечений однородных векторных расслоений на флаговых многообразиях, полученные результаты применены к изучению изотропных подпространств кососимметрических и симметрических форм.
С точки зрения общей теории алгебраических систем алгебры общего положения интересны тем, что позволяют понять иерархию геометрических объектов, канонически сопоставляемых всякой алгебре. Такие понятия, как структура подалгебр и идеалов, инвариантные скалярные произведения, группа автоморфизмов, дифференцирования и обобщенные дифференцирования, имеют смысл для всех алгебр, независимо от того, выполняются ли в них какие-либо тождества. Изучение этих объектов в алгебрах общего положения помогает понять, как они могут быть устроены и в конкретных алгебрах, а общность положения позволяет получать наиболее прозрачные и универсальные доказательства. Отметим в этой связи полученную теорему о квазидифференцированиях полупростой коммутативной алгебры. Однако в большинстве случаев результаты об алгебрах общего положения совсем непохожи на соответствующие конструкции в конкретных алгебрах. Так, например, каноническая квартика трехмерной коммутативной алгебры в случае полупростой алгебры сводится к четырем прямым, а в случае алгебры общего положения является квартикой общего положения и ее геометрия тесно связана с алгебраическими свойствами соответствующей алгебры.
Поскольку в диссертации затронуто много различных тем, не представляется возможным дать мало-мальски полный обзор известных работ в этой области. Приведем только те работы, которые непосред-

ственно связаны с алгебрами общего положения в том контексте, в котором они появляются в диссертации.
В работе [36] введено понятие алгебры общего положения, которое совпадает с нашим. В этой работе лгебры общего положения нужны как примеры алгебр, имеющих сложную структуру, но не имеющие автоморфизмов, что позволяет строить контрпримеры к некоторым гипотезам о сравнении алгебры инвариантов и алгебры следов произвольных алгебр.
В работе [2] построено многообразие модулей двумерных алгебр методами геометрической теории инвариантов. Самым сильным нашим результатом в этом направлении является описание рационального многообразия модулей четырехмерных антикоммутативных алгебр.
В работе [3] дано строгое обоснование классической теории инвариантов кубических формы от четырех переменных, при этом основным инструментом является сечение Сильвестра. При изучении 4-мерных антикоммутативных алгебр обнаруживается две корреляции с этими результатами: в этом модуле есть аналог сечения Сильвестра, кроме того, геометрия алгебр общего положения связана с геометрией ассоциированной кубической поверхности. С этой темой также связана работа [22].
В работе [15] найдена стратификация Луны четырехмерных антикоммутативных алгебр. Мы строим аналогичную стратификацию в модуле трехмерных коммутативных алгебр.
В работе [30] найдена замечательная связь геометрии трехмерных коммутативных алгебр и ассоциированных квартик. Мы передоказы-ваем эту теорему, используя общую технику “аффиннизации”.
Структура диссертации.
Вторая глава.
Вторая глава является подготовительной. Здесь мы изучаем схемы нулей глобальных сечений однородных векторных расслоений на флаговых многообразиях и геометрию представления изотропии параболических подгрупп.
Введем некоторые обозначения. Пусть б — связная редуктивная

А), где А н-+ А0 — ОЬп-эквивариантный проектор на первое слагае-
мое в (1). Алгебры из А°п к будем называть алгебрами с нулевым следом, поскольку А е А/1к тогда и только тогда, когда (к — 1) форма Тф;1
Выберем в V базис {ех
где В — т х т-матрица, А — (п-т)х(п — га)-матрица. Тогда <3/Р — это грассманиан Ог(га, V). Рассмотрим на С/Р векторное рассло-
фактортавтологическое. Тогда мы находимся в ситуации леммы 2.1.1, поскольку, как легко видеть, Ь = Ьд, где Л — старший вес А°п к. Таким образом,
{2ЗА)ге(1 совпадает с многообразием т-мерных подалгебр А.
Теперь будем доказывать теорему. Пункт (1) очевиден, пункт (2) следует из пункта (1) леммы 2.1.1. Из пункта (2) леммы 2.1.2 следует, что если во всякой -местной антикоммутативной алгебре А есть Химерная подалгебра, то многообразие Хг-мерных подалгебр алгебры общего положения является гладким несмешанным {к — 1) (п — Хг)-мерным подмногообразием на грассманиане От(к, А). Покажем, что произвольное (к — 1)-мерное подпространство и включается в Хс-мерную подалгебру. Умножение в алгебре определяет линейное отображение из У/11 в У/Л. Пусть V + II — ненулевой собственный вектор. Тогда, очевидно, СV фИ — Хг-мерная подалгебра. Осталось доказать неприводимость многообразия Хг-мерных подалгебр. Пусть сечение й расслоения Ь = АкБ* 0 У/Б над Ог(Х, У), соответствующее алгебре А, пересекает нулевое сечение трансверсально. Тогда комплекс Кошуля

ение Ь = АкВ* 0 У/В, где 5 — тавтологическое расслоение, У/Б
О Ап~кЬ* 4 ... Л Л2Ь* 4 I* 4 О-+ Ог(а) О