Элементарная эквивалентность линейных и алгебраических групп

• Автор: Бунина, Елена Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 162 с.

Введение
Элементарные свойства (то есть те свойства алгебраической системы, которые можно выразить на языке узкого исчисления предикатов, принимая в качестве исходных основные операции и отношения данной алгебраической системы) линейных групп были впервые рассмотрены в 1961 году А.И. Мальцевым. В работе “Об элементарных свойствах линейных групп’' ([1]) он задавал следующие вопросы:
1) какие из теоретико-групповых понятий, определяемых обычно при помощи неограниченных логических средств (например, при помощи исчисления предикатов высших ступеней), допускают определения на языке УИП;
2) какова алгоритмическая структура тех или иных совокупностей элементарных предложений;
3) при каких условиях неизоморфные группы будут тем не менее обладать одинаковыми “элементарными” свойствами и т.п.
В работе [1] вопросы указанного характера рассматривались для групп С1/П(АГ), ЗЬп(К), РСп(К), РвЬп(К). Было показано, что для каждой характеристики Сегре х (т-е- последовательности вида
Х= {[(Ц,«1) ...(тп1)]...,) ...(тп8)]}, взятой для каждой матрицы М, у которой жорданова форма имеет вид
а = (41} + +лк1(1)) + + (48) + +4!}),
клетки Жордана, построенные над одной и той же матрицей АМ, причем характеристические многочлены матриц .А1) (...) Аразличны и неприводимы над полем К; М‘ — индекс 4 > п% — порядок основной матрицы А*4 в любой из перечисленных выше групп существует такое групповое предложение ВХ(М), которому удовлетворяют те и только те матрицы М, которые имеют характеристику Сегре х Кроме того, для каждой из серий групп О,, БЬ, РС?А, РБЬ и каждого п было найдено элементарно групповое предложение
из групп вЬДК), БЬп(К), РйЬДК) или РБЬп{К) при фиксированном п, причем таким образом, что алгоритм не зависел от поля К. В результате была получена следующая структурная теорема:
Теорема (Мальцев). Для того, чтобы группы Є(т,Кі) и 0(п,К2) (Є — вЬ, РО, БЬ, РБЬ, т > п > 3) имели один и тот же арифметический тип (были элементарно эквивалентны), необходимо и достаточно, чтобы т = п и чтпобы один и тот же арифметический тип имели поля Кг и К2.
Для доказательств всех утверждений использовались только методы линейной алгебры, предложения выписывались в явном виде, не затрагивая логических конструкций.
Продолжение эта теория получила в 1992 году, когда К.И. Бейдар и А.В. Михалев предложили в работе [4] общий способ решения проблем такого типа. С помощью сложных логических конструкций и теории моделей они обобщили теорему Мальцева для случая групп ДЬ, БЬ, Рв РБЬ над первичными ассоциативными кольцами, содержащими 1 и 1/2, и над телами. Кроме того, ими была доказаны важнейшие теоремы, позволяющие выводить утверждения об элементарной эквивалентности алгебраических систем из утверждений об их изоморфности. В теоремах использовался тот факт, что две алгебраические системы Я и 5 одинаковой сигнатуры элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует множество I и ультрафильтр Р над 1 такой, что Я1 /Р и Б1 /Р изоморфны.
Диссертация посвящена изучению элементарных свойств унитарных линейных групп над полями, кольцами и телами с инволюцией, а также групп Шевалле над полями. Группы Шевалле включают в себя такие классические группы, как группы БЬп(К), РБЬп(К), БОп(К), БріпДК), РБОп(К), Зр2п{К), РБр2п(К), то есть, с одной стороны, изучаемые группы пересекаются с теми, которые рассматривались А.И. Мальцевым в работе [1], а с другой стороны, среди вышеперечисленных групп присутствует довольно много классических линейных групп, им не рассмотренных.
Доказаны структурные теоремы об унитарных линейных группах над полями с инволюцией, в том числе показано, что с помощью унитарной группы над полем можно построить объект, изоморфный соответствующему полю с инволюцией; показано, что для любого числа п > 2 можно построить элементарно групповое предложение, верное в каждой группе

U2n(K,j,Q2n) Для любого поля К с инволюцией j и ложное во всех унитарных группах других размерностей. В процессе доказательства были использованы методы, близкие методам А.И. Мальцева, но автор столкнулся с двумя сложностями: во-первых, невозможно было пользоваться найденными Мальцевым элементарными предложениями, характеризующими характеристику Сегре матриц из группы Um{K, j, Q2n)> так как при некоторых типах инволюций эти предложения не выделили бы искомую характеристику; во-вторых, необходимо было перерабатывать не просто кольцевые предложения, относящиеся к полю К, в предложения, относящиеся к группе U2n(K,j,Q2„), а кольцевые предложения с участием инволюции, относящиеся к полю К с инволюцией j. По этим двум причинам пришлось считать поле К алгебраически замкнутым, но при этом появилась возможность распространить доказательство на произвольные характеристики, отличные от двух.
Далее с помощью теорем К.И. Бейдара и A.B. Михалева [4] и теоремы о продолжении изоморфизма И.З. Голубчика и A.B. Михалева [2] были доказаны структурные теоремы для унитарных линейных групп над кольцами и телами. Здесь основной сложностью было продолжения изоморфизма между группами и кольцами на инволюцию.
В последней части работы показано, что для групп Шевалле над алгебраически замкнутым полем можно для каждой простой алгебры Ли построить предложение, которое истинно во всех группах Шевалле, построенных с помощью этой алгебры Ли, и ложное в группах Шевалле, построенных с помощью других алгебр Ли. Для каждой простой алгебры Ли показано, как по группе Шевалле, использующей эту алгебру Ли, построить поле, изоморфное полю этой группы. Доказана общая теорема об “элементарной” структуре групп Шевалле.
Цель работы. Изучение элементарных свойств и получение структурных теорем для унитарных линейных групп над полями, телами и кольцами с инволюцией, а также для групп Шевалле над полями.
МеТОДЫ Исследований. В диссертации используются методы теории моделей и математической логики, линейной алгебры, теории колец.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основ-

Предположим, что аф 0. Тогда 6с ф 0, а значит,
Но матрица С должна иметь разные числа на диагонали, значит, а = 0. Если а = 0, то 6с = 0, то есть 6 или с равны 0. Пусть, без ограничения общности с = 0. Тогда
/1 0 0 6 0 10 0 0 6 10 0 0 1
V =Ь.
Соотношения 1) и 2) выполняются автоматически. Проверим соотношение 3):
Для этого возьмем

(а 0 0 6 0 0 о о
о о о

Тогда
= 1, а ф ±6.

0 0-6
/1 0 0 7
0 1 0 0
0 7 1 0
/ 0 0 1/ V

-б'1

о о о
-о V
Л 0 0 —)Л

0 ~7
0 0 1)

Теперь проверим соотношение 4):