Гомологии Хохшильда и продолжения структур A∞-алгебр и A∞-модулей

• Автор: Ладошкин, Михаил Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 90 с.

0.1 Введение

1 Необходимые определения, конструкции и теоремы

2 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами и Ахмаду ли над Аоо-алгебрами

2.1 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами

2.2 Когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами

2.3 Лоо-модули над Лоо-алгебрами и когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами
2.4 Примеры использования комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами для описания структур Лоо-модулей над Лоо-алгебрами
2.5 Применение комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами при исследовании структур Л^-модулей над Лоо-алгебрами в случае, когда Лоо-алгебры не совпадают

3 Комплекс Хохшильда для Лоо-алгебр и Лоо-модулей над

Лм-алгебрами

3.1 Комплекс Хохшильда для градуированной Лоо-алгебры

3.2 Скрещивающие коцепи комплекса Хохшильда для Лоо-алгебры и связь структуры множества эквивалентных коцепей с гомологиями этого комплекса
3.3 Продолжения Лоо-алгебры и когомологии комплекса Хохшильда Сю{А, А) для Лоо-алгебры
3.4 Конструкция комплекса Хохшильда для Лоо-модулей над Лоо-алгебрами и связь с продолжениями
3.5 Продолжение модуля над алгеброй для случая, когда модуль является фактор-алгеброй
3.6 Заключение
3.7 Литература

3.1 Список публикаций автора по теме диссертации

Изучение различных алгебраических структур на топологических пространствах является одним из основных вопросов алгебраической топологии. Необходимо рассматривать связь свойств алгебраических структур, вводимых на топологических пространствах с чисто топологическими свойствами самих пространств.
Л^-структуры. Изучение топологических пространств (Л”, е) с умножением, относительно которого е является гомотопической единицей (//-пространств), привело Сташеффа в [54] к рассмотрению топологических моноидов, то есть //-пространств со строгой единицей и ассоциативностью умножения. Были получены результаты о том, что с топологической точки зрения моноиды являются пространсвами петель, которые, в свою очередь, эквивалентны топологическим группам [28], [48], [29]. Однако структура моноида, как и гомотопической группы, обладает существенным недостатком - она не является гомотопически устойчивой, то есть если сушествует гомотопическая эквивалентность моноида М и множества X, то это не означает, что на X можно ввести структуру моноида, которая была бы гомотопически эквивалентна такой структуре на М. Бедность структуры Я-пространства, являющегося естественным гомотопическим аналогом моноида, побуждало искать более богатые структуры. Такие структуры нашел Дж. Сташефф [53], введя понятие Лоо-пространства. Частыми случаями этих пространств являются Л„-пространства, причем при п = 2 это пространства со строгой единицей, при п — 3 - гомотопически ассоциативное пространство со строгой единицей, и так далее. Важным фактом явилось то, что Лоо-простран-ства явились гомотопически эквивалентны моноидам. Для того, чтобы пространство обладало структурой Лоо-пространства, необходимо и достаточно, как показано в [55], чтобы оно было гомотопически эквивалентно некоторому пространству петель. Вместе с этим были введены понятия Лоо-отображений, которые являются морфизмами в категории Лоо-пространств.
Одним из существенных недостатков построенной конструкции являлось то, что клеточные разбиения шаров, моделирующие Лоо-отобра-жения топологических моноидов, устроены настолько сложно, что получить с их помощью достаточно глубокие результаты не удастся. Например, доказательство результата Фукса (30] о том, что гомотопическая эквивалентность между моноидами тогда и только тогда является Лоо-отображением, когда обратная эквивалентность также представляет собой Лоо-отображеиие, оказалось настолько сложным, что даже не было опубликовано. Попытки решения технических проблем, возника-

В данном равенстве, заменяя операции 5,Ui,U по формулам (2.1), (2.2), (2.5), получим
£(-l)*(i-I)+15i-j+i(l ® • • • ® Щ ® • • • ® 1) + S(_1)/£+!ffi-i(l ® • • • ®
j>2 к
07Г ® . .. 0 1) + £(-l)J’(*+1)+10i-j(l 0 ... ®Pj) + (_1),ffi-l(l ® • • • ® /Х)
І>1
+ Е(—1)І_1РІ(1 ® • • • ® №-і) + /і(! ® (?)

Последнее выражение может быть дополнено до условия (1.18), если принять соглашения, что отображение /, являющееся морфизмом Атс-алгебр, удовлетворяет условиям
/і = id, fi - 0 при і > 1,
а отображение g, являющееся морфизмом А^-модулей, удовлетворяет условиям
5о = id, gi = tl ~1 при і > 0.
Полученные условия означают, что Л^-модули М А/', определяемые а-элсментами р, р' соответственно, изоморфны, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
Из теоремы 2.4 и теоремы 2.2 вытекает
Теорема 2.5. Если гомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами Hn'l~n(S*(A, М) = 0 при п > 1, то любая структура Aqq-модуля на М над фиксированной Лос-алгеброй А эквивалентна тривиальной.
Доказательство. Если выполняется условие Hn,1~n(S*(A, М)) — 0, то, по теореме 2.2, множество D(A, М) = 0. то есть в этом множестве содержится только класс a-элементов, эквивалентных нулевому. Но нулевой а-элсмент отвечает за существование структуры тривиального Л^-модуля на М над фиксированной Лоо-алгсброй Л. Применяя теорему 2.4, получим, что любая другая структура Лоо-модуля на М над фиксированной Л^-алгеброй Л будет эквивалентна тривиальной в смысле изоморфизма Лоо-модулей. Теорема доказана.