Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность

• Автор: Гриншпон, Самуил Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 247 с.

Введение
Теория абелевых групп является одной из важных ветвей современной алгебры. Эта теория активно взаимодействует с различными областями математики: с одной стороны в теории абелевых групп тесно переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории чисел, теории модулей, колец, категорий, топологических групп, а с другой стороны теория абелевых групп часто является источником идей для смежных областей алгебры. Широкая применимость абелевых групп в различных областях математики является одной из причин интенсивного развития теории абелевых групп в последние годы (см. [Миш1], [Миш2], [МишЗ], [ММ], [Mi]).
Важной задачей теории абелевых групп является изучение строения их вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой. Истоки теории вполне характеристических подгрупп абелевых групп лежат в теории линейных операторов векторных пространств, при изучении которых центральную роль играют инвариантные подпространства. Знание строения вполне характеристических подгрупп абелевой группы и их решетки существенно помогает как при изучении свойств самой группы, так и при исследовании свойств ее колец эндоморфизмов и квазиэндоморфизмов, группы автоморфизмов и других алгебраических систем, связанных с исходной группой (см., например, [Mel], [Rl], [Р], [BEIP], [Миш2], [МишЗ], [Mi]).
Выяснение строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп представляет также интерес при изучении вполне инвариантных подмодулей модулей. Информацию о вполне характеристических подгруппах абелевых групп и решетках таких подгрупп полезно иметь и при исследовании абелевых групп, как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.
Для некоторых достаточно широких классов абелевых р -групп описание вполне характеристических подгрупп получено в работах Р. Бэра ([В]), Р. Линтона ([L]), И. Капланского ([К]), К. Бенабдаллаха, Б. Эйзеншгадта, Д. Ирвина, Е. Полуянова ([BEIP]), Р. Пирса ([Р]). Как правило, эти описания вполне характеристических подгрупп абелевых р -групп даются не на наиболее удобном для этих групп языке инвариантов Ульма-Капланского, и в ряде случаев требуется преодолеть значительные трудности для перевода такого описания на этот язык.

О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и смешанных абелевых групп, в отличие от примарных групп, известно, вообще, очень мало, что связано в первую очередь с тем, что сами группы без кручения и смешанные группы еще недостаточно изучены. Описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для одного класса однородных групп без кручения получено П. А. Крыловым ([Kpl], [Кр2]), а в [П1] В. С. Пятков описал вполне характеристические подгруппы прямых сумм однородных сепарабельных групп без кручения. Хорошо известен результат Р. Гебеля ([G]) о строении вполне характеристических подгрупп К-прямых сумм бесконечных циклических групп (в частности, прямых сумм и прямых произведений бесконечных циклических групп, а также групп Бэра-Шпекера). В работах А. И. Шапошникова. ([НИ], [IH2]), А. И. Москаленко ([Мо]) и А. А. Фомина ([Фо]) изучаются сервантные вполне характеристические подгруппы абелевых групп из некоторых классов. Вполне характеристические и сервантные вполне характеристические подгруппы алгебраически компактных групп рассматриваются А. Мадером в [М]. Связь между строением делимой и редуцированной частей абелевой группы специального вида со строением соответствующих частей ее вполне характеристической подгруппы установлена М. Брамре ([Вг]).
В диссертации разрабатывается направление исследования вполне характеристических подгрупп произвольных абелевых групп, тесно связанное с понятием ’’вполне транзитивность”. Основная идея состоит в следующем. Задается некоторое свойство вполне характеристической подгруппы абелевой группы, записываемое в терминах высотных матриц элементов группы, а затем в различных классах абелевых групп выделяются и описываются группы, в которых все вполне характеристические подгруппы обладают заданным свойством. Выбор свойства, которому должны удовлетворять вполне характеристические подгруппы, осуществляется, конечно, так, чтобы соответствующие группы составляли достаточно широкий класс групп. Таким образом, приходим к понятию Н-группы, то есть такой редуцированной абелевой группы А, в которой всякая вполне характеристическая подгруппа имеет вид А(М) = {а € А | Н(а) М} , где Н(а) — высотная матрица элемента а , М —некоторая и х ш -матрица, элементами которой являются порядковые числа и символы оо. (Заметим, что как вытекает из теоремы 8.5 настоящей работы при изучении

вполне характеристических подгрупп абелевых групп можно ограничиться редуцированными группами).
Выделение Н-групп в ряде классов абелевых групп фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.
Всякая Н-группа, как показано в §2 диссертации, является вполне транзитивной группой, то есть абелевой группой, в которой для любых двух элементов а и Ь таких, что Н(а) Н(6) (Ща), Н(6) — высотные матрицы элементов о и 6 соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ъ. Обратное, как вытекает из результатов работы, в общем случае неверно, но имеет место для периодических групп.
Для редуцированных абелевых р -групп понятие "вполне транзитивная группа” ввел И. Капланский (редуцированная абелева р -группа называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов виЬ, для которых Н(а) Н(Ъ), где Н(а), Н(Ь) —индикаторы элементов а и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ъ ([Ф1], с. 11)). И. Капланскому удалось установить, что всякая сепарабельная редуцированная у -группа является вполне транзитивной ([К], с. 58; [Ф2], с. 10-11). Он ставит вопрос (проблема 25 из [Рг]): будет ли любая абелева р -группа вполне транзитивной. В [Н] П. Хилл показал, что всякая тотально проективная у -группа является вполне транзитивной. Интересные результаты о вполне транзитивных р -группах А, связанные с действием кольца эндоморфизмов Е(А) на ршА, получены А. Корнером ([С1]); здесь же построен пример редуцированной р-группы, не являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм у -групп ([ГС]). Свойства вполне транзитивных р-групп рассматривались в ряде работ (см. [Миш1], §1; [Миш2], §1).
Понятие вполне транзитивной группы без кручения, то есть такой абелевой группы без кручения, в которой для любых двух элементов а и 6 таких, что у(а) < х() (х(а)> х{Ь) —характеристики элементов а и Ь соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь, появилось и применялось для решения различных задач теории абелевых групп в работах [Г8], [Кр1], [Д1] (в этих работах группы с указанным выше свойством назывались транзитивными; позднее в рабо-
получаем и = <рс(Ь) т{£{<рс(Ь)}= т{г);}г_1у;. Значит, в Мг есть конечное подмножество М2 = такое, что и т1'с М2 . □
Если б? — абелева группа, то всякой паре (д, р), где д € С , р-простое число, соответствует последовательность (к*(д), к*а(рд)
Рассмотрим абелевы р-группы. Пусть А — абелева р -группа. Обозначим через На — множество всех возрастающих последовательностей порядковых чисел, меньших длины группы А и символов оо, полагая, что оо больше любого порядкового числа (если а — (а0, а1г... е На и ап ф оо ,то ап < тт{а„+1, А} ,
где А — длина группы А; если же ап = оо, то <тп+1 = оо). На множестве На введем отношение частичного порядка естественным образом: (а0, «1
ство всех целых неотрицательных чисел) <Хк (5и . Относительно этого порядка На является полной нижней полурешеткой (так как в На есть наибольший элемент (оо, оо
Пусть д>ч — функция, отображающая А в На, такая что <ри (а) = Н(а) для всякого а € А. Из свойств обобщенных р -высот ([Ф1], с. 182) вытекает: (рНл(да)
(а) для всякого а £ А и любого г £ Е{А); <рм (а + 6) срПл (а) А (6) для любых а,Ь £ А; <РМа (0) а для всякой последовательности а £ На Поэтому в рассматриваемой ситуации мы можем использовать результаты, полученные ранее в этом параграфе.
Говорят, что последовательность а = (ад,ах