Модальные логики топологических пространств

• Автор: Шехтман, Валентин Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 187 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Модальные и суперинтуционистские логики
1.2. Модальные алгебры
1.3. Окрестностью шкалы
1.4. Шкалы Крипке
1.5. Морфизмы окрестностных шкал
1.6. Морфизмы шкал и моделей Крипке
1.7. Канонические модели
1.8. Фильтрации
ГЛАВА 2. ОКРЕСТНОСТНАЯ ПОЛНОТА И ПОЛНОТА ПО КРИПКЕ
2.1. Пополнения
2.2. Вспомогательные формулы и шкала Файна
2.3. Пространства Гжегорчика
2.4. Окрестностно неполное конечно аксиоматизируемое расширение
логики Гжегорчика
2.5. Окрестностно неполное расширение логики Гжегорчика с одной переменной
2.6. Пространство У
2.7. Относительно неполное суперинтуиционистское исчисление с двумя переменными
ГЛАВА 3. СИЛЬНАЯ ОКРЕСТНОСТНАЯ ПОЛНОТА
3.1. Предварительные замечания
3.2. Ультрабукеты шкал Крипке
3.3. Б-Ы-полные модальные логики
3.4. Б-КГ-полные суперинтуиционистские логики
3.5. Ультрабукеты топологических пространств
ГЛАВА 4. ЛОГИКИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ С УНИВЕРСАЛЬНОЙ МОДАЛЬНОСТЬЮ
4.1. Постановка задачи
4.2. Логики и модели
4.3. Логика 54иС; ее финитная аппроксимируемость
4.4. с-р-морфизмы
4.5. Окрестностная полнота S4UC
ГЛАВА 5. ДЕРИВАЦИОННЫЕ МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ
5.1. Операция деривации и ее свойства
5.2. Деривационные модальные логики
5.3. Минимальная деривационная логика
5.4. К4 и D4 как деривационные логики
5.5. d-р-морфизмы: усиление леммы Маккинси - Тарского
5.6. К4 и D4 как деривационнные логики нульмерных пространств
5.7. Обобщенные формулы Куратовского
5.8. Полнота по Крипке логик D4KUn
5.9. Финитная аппроксимируемость логик D4KUn
5.10. Подходящие шкалы
5.11. D4 К U1 как деривационная логика
5.12. D4KU2 как деривационная логика
ГЛАВА 6. ВРЕМЕННЫЕ ЛОГИКИ С ОПЕРАТОРОМ ЛОКАЛЬНОЙ ИСТИННОСТИ
6.1. Постановка задачи
6.2. Постулаты и полнота по Крипке для логик FPcnl, FPaTj
6.3. Фильтрации
6.4. Полнота FPar относительно линий времени
6.5. Теоремы о полноте для других FPG-логик
ЛИТЕРАТУРА
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ

ВВЕДЕНИЕ
Модальные логики
Теория модальных логик - быстро развивающийся и сравнительно новый раздел математической логики. Изучение логических свойств модальностей было начато еще в античные времена, но на протяжении многих столетий велось лишь в рамках гуманитарных дисциплин (главным образом, философии и лингвистики). Первые модально-логические исчисления были сформулированы только в начале 20-го века (К. Льюис, 1918), а осознание теории модальностей с математической точки зрения началось лишь в 40-е - 50-е гг., благодаря работам А. Тарского, Дж. Маккинси, Б. Йонссона, С. Крипке и др.
Появление многочисленных приложений модальных логик: в информатике (Computer Science), теории искусственного интеллекта, математической лингвистике, а также в основаниях математики, - привело в конце 70-х гг. к стремительному росту этой области, который продолжается и сегодня. Современная модальная логика представляет собой сложившуюся математическую дисциплину с собственным кругом задач и методов; она оказывает влияние на развитие математической логики в целом и связана с рядом других областей математики, в особенности с универсальной алгеброй, теорией категорий и общей топологией.
Модальные логики считаются неклассическими, поскольку в них, кроме обычных логических связок ('и1, 'или', 'не' ) используются дополнительные связки -модальности ('необходимо', 'возможно* и т.п.). По сравнению с классической логикой, модальные логики отличаются большим разнообразием синтаксиса и семантики; этим объясняется широкий круг их приложений.
Топологическая (окрестностная) семантика модальных логик
В данной диссертации модальные логики рассматриваются как формальные теории топологических пространств. Изучение топологических пространств средствами математической логики началось достаточно давно. Сама идея построения простого исчисления, в котором можно доказывать топологические теоремы, по существу, принадлежит К. Куратовскому (KURATOWSK1 1922] (хотя похожая система аксиом предлагалась ранее Риссом [RIESZ 1909]). Проблема создания "топологической теории моделей", аналогичной теории моделей классической логики первого порядка была поставлена А. Робинсоном [ROBINSON 1973]. Принципиальная трудность здесь состоит в том, что топологические структуры невозможно определить в языке первого порядка, поскольку для задания топологического пространства нужно говорить и о точках, и о множествах точек. Таким образом, приходится использовать фрагменты
ТЕОРЕМА 1.4.234 [ЗАХАРЬЯЩЕВ 1989]. Если суперинтуиционистская логика Ь К-полна (соответственно, финитно аппроксимируема), то ее наименьший модальный напарник т(1_) К-полон (соответственно, финитно аппроксимируем).
ТЕОРЕМА 1.4.24 [МАКСИМОВА, РЫБАКОВ 1974], [ЭСАКИА 1979а]. Если суперинтуиционистская логика I финитно аппроксимируема, то ее наибольший модальный напарник о(1_) финитно аппроксимируем.
В главе 2 будет показано, что, однако, ни К-полнота, ни Ы-полнота не переносятся на сильные модальные напарники.
1.5. Морфизмы окрестностных шкал
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5.1. Пусть X = <Х, % = <Х , \ >
/ / — окрестностные шкалы. Отображение V. X—>Х называется морфизмом X в X
(обозначение: Ь %—>% ), если
УкУУсХ У) = 1к1и(У).
Для случая топологических пространств данное понятие морфизма совпадает с понятием внутреннего (= непрерывного открытого) отображения, т.е. такого, при котором образы и прообразы открытых множеств — открыты (см. [РАСЕВА, СИКОРСКИЙ 1972], 111.3.2). Очевидно также, что
УУех' М(/ У) = !Н(У) УУсХ Н(с У) = сМ(У),

где с, с — операции замыкания в соответствующих пространствах.
ЛЕММА 1.5.2. 1: X -> , если и только если отображение Ун»М(У) является

гоморфизмом модальных алгебр МА(% )-»МА(%).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно из определения, т.к. взятие прообраза сохраняет булевы операции
Обозначим этот гомоморфизм через МА(1). Таким образом, получаем функтор МА из категории п-модальных окрестностных шкал и морфизмов в категорию п-модальных алгебр.
Следующий факт хорошо известен из универсальной алгебры (см. [КОН 1968], [МАЛЬЦЕВ 1970]).
4 Эта теорема называется иногда “гипотезой Даммета — Леммона ”, т.к. впервые она была сформулирована в [DUMMETT, LEMMON 1959].