Группы Шункова с дополнительными ограничениями

• Автор: Шлепкин, Анатолий Константинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 187 с.

Содержание
1 Введение
2 Известные результаты
1 О группах с нормальной компонентой расщепления
1.1 Определения, вспомогательные леммы
1.2 О локально конечном радикале группы из класса ®Пб
1.3 О некоторых подгруппах группы (7 е 23 П ©
1.4 Свойства не локально конечных групп из класса 21П ©
2 Некоторые свойства групп Шункова
2.1 Определения
2.2 О существовании бесконечных локально конечных подгрупп
2.3 О характере вложения бесконечных локально конечных
подгрупп
2.4 Факторгруппы групп Шункова
2.5 О существовании д-полной части
3 Группы с примерной минимальностью
3.1 Группы без инволюций
3.2 Свойства основного контрпримера
3.3 Случай разрешимых конечных подгрупп
3.4 О 2-полной части
3.5 Случай полных абелевых 2-подгрупп
3.6 Случай локально диэдральных групп

4 Проблема примерной минимальности
4.1 Основные результаты и свойства контпримера
4.2 0 периодической части централизатора инволюции
4.3 О сильно вложенной подгруппе
4.4 Свойства 2-подгрупп в С
4.5 Строение конечных простых подгрупп С?
4.6 Строение подгрупп Ьь и Къ
4.7 Доказательство основной теоремы
5 Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами
5.1 Определения, вспомогательные леммы
5.2 Группы Шункова, насыщенные Ьг{рп)
5.3 Группы Шункова, насыщенные 7?е(д)
5.4 Группы Шункова, насыщенные 5г(д)
5.5 Группы Шункова, насыщенные £/з(2п)
5.6 Периодические группы с конечной диэдральной силов-
ской 2-подгруппой, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами
5.7 Периодические группы, насыщенные Яе(д)

Введение
При изучении бесконечных групп оказалось естественным выделять и изучать классы таких групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп, или, как мы будем говорить в дальнейшем, классы групп с условиями конечности. Перечислим некоторые из распространенных условий конечности: периодичность, локальная конечность, условия обрыва различного рода цепочек подгрупп, конечность определенным образом порожденных подгрупп и т. д. Каждое из перечисленных выше условий само по себе или в сочетании с другими представляет собой крупное направление в теории групп. За последние 40 лет в теории бесконечных (периодических) групп решены многие старые проблемы, предложены различные конструкции периодических групп, построено много серий примеров [44, 29, 9, 45, 117, 3, 1, 2, 47, 74, 48, 15, 49, 50, 75, 30, 37, 51, 16]. Примеры Е.С.Голода, А.И.Созутова, А.В.Рожкова [9, 64, 67, 57] показали, что между классом локально конечных групп и классом всех периодических групп существует бесконечно много промежуточных классов групп с условиями конечности более слабыми, чем локальная конечность. В настоящее время бесконечные группы со слабыми условиями конечности интенсивно изучаются (см., монографии [125, 126]).
Результаты исследований, представленных в настоящей диссертации, связаны с конечностью определенным образом порожденных подгрупп:

1.4 Свойства не локально конечных групп из класса 21П
Лемма 1.4.1 Если 03 П 0 содержит не локально конечную группу, то 03 П 0 содержит группу G с не локально конечным простым конечно порожденным ядром F.
Доказательство. Пусть G не локально конечная группа из 03 П 0. Мы покажем, что некоторое сечение группы G принадлежит 03 П 0 и обладает нужными свойствами.
Без ограничения общности можно считать, что G конечнопорож-денная группа. В силу леммы 1.1.8 ядро F группы G может содержать только конечное число подгрупп конечного индекса. Так как пересечение В этих подгрупп также конечно порождено и ВХ(а) содержится в 33П0 и не является локально конечной группой, то мы можем считать, что уже F не содержит подгрупп конечного индекса.
В силу конечной порожденности группы F множество ее собственных нормальных подгрупп по лемме Цорна обладает максимальными элементами; пусть Т — один из них. Так как индекс Т в F бесконечен, то F/Т бесконечная простая группа. По следствию 1.1.6 Т Лемма 1.4.2 Пусть G G 33 П0 и ядро F является простой не локально конечной группой. Тогда
1. Каждый элемент из F примарен.
2. Силовские q-подгруппы из F имеют ограниченный период п = n{q).
3. Для каждого элемента Ъ G F& существует элемент / G F такой, что ядро группы (b, af) неабелево.
4. F является либо р-группой, где р — |а|, либо р'-группой. Если р (р 7r(F), то G G 21 П 0.