Условия конечности в полугруппах, полугрупповых кольцах и полигонах

• Автор: Кожухов, Игорь Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 170 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ ДЛЯ КОНГРУЭНЦИЙ ПОЛУГРУПП
1.1. Обзор результатов
1.2. Конечная порожденность полугрупп с условием максимальности
1.3. Полугруппы с правыми конгруэнциями конечного индекса
1.4. Полугруппы со слабым условием таксимальности
ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ПОЛИГОНАХ
2.1. Определения и обозначения. Обзор результатов
2.2. Полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются двухэлементными
2.3. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуально конечны
2.4. Полугруппы с ограниченными в совокупности порядками подпрямо неразложимых полигонов
ГЛАВА 3. АРТИНОВЫ, СОВЕРШЕННЫЕ И ПОЛУПРИМАРНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
3.1. Основные определения и обозначения. Предварительные результаты
3.2. Совершенные и полупримарные полугрупповые кольца
3.3. Артиновы группоидные кольца
ГЛАВА 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
4.1. Необходимые условия алгебраической компактности полугруппового кольца
4.2. Достаточные условия алгебраической компактности полугруппового кольца
4.3. Полугрупповые кольца, являющиеся гомоморфными образами алгебра-
ически компактных колец

ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ И ЛИНЕЙНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛУ-ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА
5.1. Линейно компактные полугрупповые кольца
5.2. Некоторые необходимые и некоторые достаточные условия линейной компактности полугруппового кольца
5.3. Компактные полугрупповые кольца
ГЛАВА 6. САМОИНЪЕКТИВНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА 153 ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Условия конечности в тех или иных классах универсальных алгебр играют важную роль в общей алгебре. Им посвящена обширная литература. В частности, огромное число работ посвящено артиновым и нетеровым кольцам и модулям. Интерес к объектам, удовлетворяющим условиям конечности, объясняется их распространенностью среди изучаемых математических объектов (скажем, конечномерные алгебры над полем - это одно из ключевых понятий теории представлений групп), а также возможностью построения для этих объектов содержательной структурной теории (как, например, теория Веддерберна - Артина полупростых артиновых колец или теория Сушкевича - Риса вполне 0-простых полугрупп).
Под условием конечности подразумевается любое условие, которому удовлетворяют все конечные алгебры. Полугруппы с условиями конечности всегда занимали важное место в структурной теории. Первоначально это были периодические и конечнопорожденные полугруппы, нильпотентные и нилыголугруппы. Вошедшая в учебники теорема, описывающая строение конечнопорожденных абелевых групп, стимулировала соответствующие исследования в коммутативных полугруппах. Это позволило Редей (в 60-х годах) получить полное описание конечнопорожденных коммутативных полугрупп. До конца выясненным можно считать строение вполне 0-простых полугрупп, т.е. 0-простых полугрупп, имеющих хотя бы один минимальный ненулевой идемпотент - действительно, такая полугруппа изоморфна рисовской матричной полугруппе, у которой сэндвич-матрица не имеет нулевых строк и столбцов, см. [14], гл. 2. Общая концепция условий конечности в полугруппах и обзор некоторых результатов изложены в ([35], гл. IV, п. 6.2), в [34] получена теорема о строении полугрупп, удовлетворяющих целому классу (достаточно широкому) условий конечности.
Известна роль в теории групп условий максимальности и минимальности для подгрупп. Хотя группы с этими условиями (даже группы, удовлетворяющие обоим из этих условий) могут быть устроены довольно сложно (см. пример А. 10.Ольшанского: [22], теорема 28.1), при наложении дополнительных условий строение таких групп может оказаться простым. Так, например, разрешимые группы с условием максимальности - это в точности полицшшические группы (см. [17], §59), а минимально-

Доказательство. Ввиду леммы 1.11 и следствия 1.14 полугруппа 5{0} не имеет элементов конечного порядка, за исключением, быть может, единицы. Следовательно, из леммы 1.9 мы получаем, что 5 {0} - полугруппа с левым сокращением. Так как она удовлетворяет правому условию Оре, то по теореме Оре (см. [14], теорема 1.23). 5 {0} вкладывается в группу правых частных.
Лемма 1.21. Пусть 5 - полугруппа, удовлетворяющая условиям леммы 1.15 и имеющая вид (2) или (3). Тогда для любого х ф 0 существуют такие /3 и 7, что х& = а7, /3 > 0.
Доказательство. Для т = 1,2
Лемма 1.22. Пусть Б - полугруппа, удовлетворяющая условиям леммы 1.15 и имеющая вид (2) или (3). Если Ъат = апЬ, то тп = п.
Доказательство. По предыдущей лемме Ь? = а7 при некоторых (3 и 7. Следовательно, элемент Ьз перестановочен с а7, а значит, и с ат7. Тогда ат7Ь.; = Ъуат~1 = а"7Ь. Сокращая на Ъу, получим т.7 = 717, откуда следует равенство т — п.
Лемма 1.23. Пусть Б - бесконечная ЯСЕТполугруппа. Тогда полугруппа 5{0} изоморфно вкладывается в аддитивную группу целых чисел, причем для полугруппы 5 вида (2) 5 {0} вкладывается в полугруппу Z+.
Доказательство. Определим отображение р : 5 {0} —>С%. Пусть х £ 5, х ф 0. По лемме 1.21 х13 — а7, где /? > 0. Положим <р(х) = 7/З-1. Проверим корректность. Пусть х‘ = а1'. Тогда а7/3’ = х№ — а'37', откуда 7/3' = (ЗД.
Докажем, что р(ху) = <р{ух). Пусть (ху)6 = а7, (ух)61 = а71. Ввиду леммы 1.20 можно рассматривать полугруппу Д {0} как подполугруппу некоторой группы (7. Тогда в этой группе ху — х{ух)х_1, следовательно, х(ух)8х~1 = а7. Отсюда получаем х{ух)88х~1 = а16', ха~11бх~1 = а7*1, жа71 = а1&'х. Пусть х = а‘6. Тогда агЬу а7'5 = а7Й1 а'Ьу. Сокращая на а получим 6 а7‘г = а’’*1 Ь3. Из леммы