Некоторые вопросы теории диофантовых уравнений

• Автор: Устинов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Проблема Варинга
§ 1.1 Свойства вспомогательных систем уравнений
§ 1.2 Уравнение Харди-Литтлвуда
§ 1.3 Системы уравнений Виноградовского типа
2. Об одном диофантовом неравенстве
§ 2.1 Рекуррентые неравенства
§ 2.2 Асимптотическая формула
Приложение
§ 3.1 О свойствах коэффициентов Фурье некоторых функций
§ 3.2 Асимптотическая формула в проблеме Варинга
§ 3.3 Лемма „о попаданиях“
Литература

Введение.
Лагранж [27] в 1770 году доказал, что всякое целое неотрицательное число N можно представить в виде
х + х + х + х — N, Х-) >0,х2> 0, х3 > 0, л4 > 0,
(здесь и в дальнейшем все переменные, участвующие в уравнениях, принимают только целые значения).
Варинг [33] в том же году высказал гипотезу, что при всяком п > 2 существует такое к = к(п), при котором уравнение
х” + ... + xl = N, xi>0
разрешимо для всех натуральных N. Это утверждение получило название проблемы Варинга.
Первое общее (при всех п) решение прблемы Варинга было дано Гильбертом [26] в 1909 году с очень большим числом слагаемых к в зависимости от п.
В 1920 году Харди и Литтлвуд [25] опубликовали новое решение проблемы Варинга с помощью метода, который в последствии получил название кругового. Они установили для G(n) верхнюю границу
G(n) = n2n~2h(n), 1ш/г(п) = 1,
(через G(n) обозначается наименьшее к, при котором уравнение (0.1) разрешимо для достаточно больших N). Кроме того при
к>(п- 2)2”-1 +
они вывели асимптотическую формулу для I(N) — числа решений уравнения (0.1):
I{N) = yaTVn-1 + 0(lVn-1-c°), (0.2)
где 7 = 'Г с0 > 0 и <т — особый ряд, сумма которого оценивается
снизу положительной константой.

Введение.

В своих исследованиях Харди и Литтлвуд применяли метод производящих функций и оценивали некоторые суммы, пользуясь методом Г. Вейля [34].
В последствии Хуа Ло-Ген [31], видоизменив вывод Харди и Литтлвуд а, установил справедливость формулы (0.2) при
к> 2п + 1.
В 1934 году И.М. Виноградов нашел новый метод оценки тригонометрических сумм, который позволил получить значительные продвижения в различных вопросах теории чисел. Пользуясь этим методом в работе [6], И.М. Виноградов получил оценку
б?(га) < 6п(1пп Т 10).
Ряд статей И.М. Виноградова был посвящен асимптотической формуле для /(-/V). Так в его работе 1935 года [3] доказана справедливость формулы (0.2) при
п > 20, к > 91п8(1пп 4-1)2, а в работе 1936 года [7] при
п > 20, к > 131п5(1п п)2.
В 1947 году вышла книга [17], в которой Хуа Ло-Ген значительно упростил метод Виноградова. Хуа Ло-Геном была выделена теорема, которую он назвал теоремой Виноградова о среднем значении. Там же была доказана справедливость формулы (0.2) при
п > 14, к > п3(1пп + 2.21п1пп).
В 1942 году Ю.В. Линник в [15], [16] и И.М. Виноградов в [9], [10] получили более точные оценки тригонометрических сумм. Пользуясь новыми оценками в 1947 году в работе [5] И.М. Виноградов доказал формулу (0.2) при
п > 12, к > 10п21пп.
В 1949 году в работе [29] Хуа Ло-Ген уточнил оценку теоремы Виноградова о среднем и показал справедливость формулы (0.2) при
гг > 12, к > 4п2(1пп + 0.51п1пп + 8).
В главе 1 настоящей диссертации формула (0.2) доказывается при п > 4, к > 2[п2(1пгг -Ь 1п1пп -Т 6)]. (0.3)
§2.1. Рекуррентые неравенства.

Следовательно
ЬАр)< 22*+1/Е(
І х=о
2тахп

/ ), р

Рп х
02та(г+х)г

Фсіа
Расписывая Ф в виде суммы, вынося сзшмирование за знак интеграла и отбрасывая множители вида

рп-г + I
получим, что первый интеграл не превосходит /*,(*) = 1к>г(Р/4), а второй не превосходит числа решений неравенства
(г + Хт,)п + ... - {г + ук)п| < Рп~г, 0 < х1}... ,ук < Р.
Перепишем его в виде
Су-х1 +
(2.2)
Пусть — сумма первых j скобок, стоящих под модулем. Тогда неравенство (2.2) равносильно системе
Сп 1(х 4- ... — ук)
С%гп (х + ... — ук) + Хг = А2,
(2.3)
. С"(жі + Ук) + А„_і — А„,
О < хъ
в которой Аі
в виде Аа = лга_1Ці- Аналогично из последующих уравнений получаем равенства
Аг = £ ц>2> і А«—і
Подставляя эти выражения в систему (2.3) приходим к соотношениям
' С1(хг + ... - ук) = цъ СЦхІ +
„ + ... - УІ) + Цп-хг = рп,
О < хъ
Из леммы 2.2 следует, что количество решений последней системы по порядку не превосходит ИГк,п{Р)-