Оптимизация и инвестирование в стохастических моделях финансовой математики

• Автор: Волков, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
1 Введение
2 Хеджирование в полных рынках
2.1 Модель Блэка и Шоулса
2.2 Вспомогательные результаты
2.3 Дуальные характеризации в модели Блэка и Шоулса
2.4 Структура оптимального хеджа в модели Блэка и Шоулса
2.5 Хеджирование в полных моделях финансовых рынков
3 Хеджирование в неполных рынках
3.1 Модель со случайными волатильностью и процентной ставкой
3.2 Вспомогательные результаты
3.3 Дуальные характеризации в модели со случайными волатильностью и процентной ставкой
3.4 Структура минимального хеджа для модели со случайными волатильностью и процентной ставкой
3.5 Хеджирование в неполных рынках
4 Хеджирование в финансовых моделях с ограничениями
4.1 Модель с разными процентными ставками и платой за лизинг акции
4.2 Вспомогательные результаты
4.3 Дуальные характеризации в модели с разными процентными ставками
и платой за лизинг акции
4.4 Структура оптимального хеджа в модели с разными процентными ставками и платой за лизинг акции
4.5 Хеджирование в финансовых моделях с ограничениями
5 Введение
6 Хеджирование в полных рынках

6.1 Оптимальный хедж в модели Блэка-Шоулса как огибающая Снелла. Дуальная мартингальная мера
6.2 Оптимальные хеджирующие стратегии для Американских опционов Азиатского типа
7 Хеджирование в неполных рынках
7.1 Модель с разными ставками привлечения и размещения, лизингом и операционными издержками
8 Введение
9 Оптимальное инвестирование в диффузионной модели
9.1 Оптимальное инвестирование без операционных издержек
9.2 Оптимальное инвестирование с операционными издержками

Глава I
Оценивание и хеджирование Европейских опционов 1 Введение
1. Классический опционный контракт на финансовый актив (например, акцию, облигацию, валюту, ..) представляет собой соглашение, при котором одна сторона (покупатель) получает право (но не обязательство!) купить (для опциона покупателя или опциона колл) или продать (для опциона продавца или опциона пут) некоторое количество единиц актива в определенный момент времени в будущем по заранее оговоренной цене. Заключение сделки по опциону предусматривает премию, которую покупатель должен заплатить продавцу.
Если обозначить Т—момент погашения опциона, —цену финансового актива в момент Т и К—цену исполнения опциона, то владение опционом колл эквивалентно получению в момент погашения суммы /т = тах(5т — К, 0) = (5г — К)+ Аналогично, можно говорить, что владение опционом пут приводит к получению выплаты /т
(-5г)+.
Вообще говоря, произвольный опционный контракт (Европейского типа) можно мыслить себе как обмен денежными платежами: в начальный момент времени Ь = О покупатель платит продавцу некоторую сумму С (стоимость опциона), в момент погашения £ = Т, напротив, продавец платит покупателю сумму /т, определяемую условиями контракта. В случае, когда размер выплат зависит только от стоимости актива на момент погашения: /т = Характерной чертой опционных контрактов является несимметричность прибы-

ционирует согласно следующему уравнению:
Ц = Уо + {Р_иШи + Ри<1Ви +1 где С = {Сь)0<г<т—возрастающий согласованный процесс интерпретируемый как процесс суммарного потребления, а~—отрицательная часть числа а.
4.2 Вспомогательные результаты
Прежде всего напомним, что процесс V = (У))0<4<т заданный на (О, У7, Р,Р) называется специальным семимартпингалом если он имеет представление вида:
У = Мг + А¥, (4.4)
где М¥ локальный мартингал, а Ау-—предсказуемый процесс ограниченной вариации. При этом разложение (4.4) единственно, а процесс А¥ называется компенсатором или дуальной предсказуемой проекцией специального семимартингала У, см
[14], [21], [7].
Рассмотрим теперь семимартингал X = (Хг)0<{<л заданный на фильтрованном вероятностном пространстве (П,, Г = ()о<г<т,Р)- В дальнейшем условимся не различать между собой предсказуемые процессы Н и С, если определены стохастические интегралы / НдХ и / ОдХ и
( sup | Г HdX - Г GdX| > 0 ) = 0.
Обозначим £(Х) пространство таких классов эквивалентности стохастических ин-теграндов и определим на нем метрику:
dx(H,G)= sup £2-ng
П>1
iin(| J™ h(H — G)dX |,1) j ,
где sup берется по множеству предсказуемых процессов h по модулю ограниченных 1. Величина dx(H, G) называется расстоянием Эмери (Emery), см. [44], между стохастическими интегралами j HdX и J GdX. Относительно dx пространство интеграндов С{X) есть полное метрическое пространство, см. [65]. Обозначим также С?ос(X)—