Качественное поведение решений стохастических дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами

• Автор: Черный, Александр Семенович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Вспомогательные сведения из стохастического анализа
§ 1.1. Стохастические дифференциальные уравнения
§ 1.2. Локальные времена
§ 1.3. Случайная замена времени
§ 1.4. Процессы с отражением и процессы Бесселя
§ 1.5. Непрерывные строго марковские процессы
§ 1.6. Граничное поведение строго марковского процесса
Глава 2. Необходимые определения и предварительные утверждения
§ 2.1. Изолированные особые точки: определение
§ 2.2. Изолированные особые точки: примеры
§ 2.3. Некоторые вспомогательные леммы
§ 2.4. Решения до случайного момента времени
Глава 3. Основные результаты: классификация изолированных особых точек
§ 3.1. Формулировки основных теорем
§ 3.2. Доказательства основных теорем
§ 3.3. Точки ветвления
§ 3.4. Степенные уравнения
§ 3.5. Снос постоянного знака
§ 3.6. Осциллирующие типы
Список литературы

Введение
1. Основы теории диффузионных процессов были заложены в статье А.Н. Колмогорова [11] (’’уравнение Колмогорова-Чепмена”, прямые и обратные уравнения в частных производных). Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В. Феллера (см., например, [25], [26]). В частности, Феллер исследовал граничное поведение диффузионного процесса.
В работах [27], [28] К. Ито предложил альтернативный подход для построения диффузии. Им было введено понятие стохастического дифференциального уравнения. Примерно в то же самое время и независимо от Ито стохастические дифференциальные уравнения были рассмотрены И.И. Гихманом [3], [4]. Д. Струк и С. Варадан в работе [37] дали определение мартингальной проблемы, тесно связанное с понятием стохастического дифференциального уравнения.
К. Ито, Г. Маккин [10] и Е.Б. Дынкин [7] предложили вероятностный подход для построения диффузионного процесса. Ими было доказано, что любой одномерный непрерывный строго марковский процесс, удовлетворяющий дополнительному условию регулярности, может быть получен из броуновского движения посредством двух операций: случайной замены времени и преобразования фазового пространства.
Связь между непрерывными строго марковскими процессами, мартин-галами/семимартингалами, стохастическими дифференциальными уравнениями и в настоящее время является предметом многочисленных исследований. Х.Ю. Энгельберт и В. Шмидт в [24] доказали, что любой непрерывный строго марковский локальный мартингал может быть получен из решения стохастического дифференциального уравнения без сноса посредством задержки времени специального вида. Е. Синлар, Ж. Жакод, Ф. Проттер и М. Шарп сформулировали в [20] необходимые и достаточные условия, при которых функция от регулярного непрерывного строго

марковского процесса является семимартингалом. В статье В. Шмидта [35] содержатся необходимые и достаточные условия того, что регулярный непрерывный строго марковский процесс является решением некоторого стохастического дифференциального уравнения. Подобные вопросы для непрерывных строго марковских процессов без предположения регулярности анализируются в [18].
2. В настоящей работе рассматриваются одномерные однородные стохастические дифференциальные уравнения вида
Мы исследуем следующие основные проблемы:
I. Существует ли решение уравнения (1) ?
II. Единственно ли решение?
III. Обладает ли оно строго марковским свойством?
Принято различать два типа решений стохастических дифференциальных уравнений: сильные и слабые решения. Под решением обычно понимается пара процессов (X, В) таких, что выполнено равенство (1) (понимаемое в интегральной форме) и В является броуновским движением. Мы будем рассматривать только слабые решения. При этом под решением нам будет удобно понимать меру Р на пространстве С(К+), относительно которой процесс
является (э'л) -броуновским движением (здесь X обозначает канонический процесс, а №) — каноническую фильтрацию на С(К+)). Иными словами, мы рассматриваем решение стохастического дифференциального уравнения как решение мартингальной проблемы. Точные определения приводятся в параграфе 1.1. Там же описана и взаимосвязь различных определений.
дХг = 6(Х*) <Й + а{Хг) дВи Х0 = ж.

e2 — <
(ii) Если s(0+) = —oo, то
ег = e3 = e4 = 0,
' pa
1, если / |s(æ)|m(dx) < oo,

0, если / |s(æ)| m(dæ) = oo.
ч J о

Здесь a — произвольная точка из I.
Доказательство, (i) Равенства е4 — — 0 очевидны. Из соотноше-

р ггр гг s(c) sify
0 s(c) - s(0+) W
получаем е2 — 0. Выражение для е4 вытекает из [29; (20.12)].
(ii) Докажем, что е4 = 0. При 0 < с < b имеем
РС{Т0 < Тъ} = ИтРс№ < Тъ} = Ита~3 = 0. (1.11)
а;о dio s(b) - s(a)
Положим
U1 = inf{t 0 : Xt = 6}, V1 = infjt U1 : Xt = c},
Un+l = infji Vn:Xt = b}, yn+1 = inf{t Un+1 : Xt = c}.
В силу равенства (1.11) и строго марковского свойства, примененного в моменты Vя, имеем: Tq > Un Рс-п.н. для любого п 6 N. Поскольку X непрерывен, это означает, что Рс{7о = °°} — 1
Выражение для е2 вытекает из [29; (20.12)]. □
В завершение этого параграфа приведем утверждение о том, что в некоторых случаях регулярный процесс может быть ’’продолжен” до граничной точки.
Предложение 1.40. Пусть I — интервал с левой граничной точкой 0. Предположим, что {0} ф I. Пусть (Px)x€i — регулярный процесс, для которого е2 = 1, е4 = 0 (в этом случае 0 называется