Свойства спектральных распределений случайных матриц высокого порядка

• Автор: Алексеев, Никита Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Содержание
1 Введение
2 Комбинаторные теоремы
2.1 Основные определения и утверждения
2.2 Перечисление ?п-арных деревьев
3 Распределение сингулярных чисел произведения независимых прямоугольных случайных матриц
3.1 Выборочная ковариационная матрица и распределение Марченко-Пастура
3.2 Произведение независимых прямоугольных матриц
3.3 Лемма об усечении
3.4 Доказательство теоремы
3.5 Следствия из теоремы 2 и описание предельного распределения. Численные эксперименты
4 Распределение сингулярных чисел степеней квадратных случайных матриц
4.1 Формулировка основного утверждения
4.2 Доказательство сходимости Е Тп(х) к предельной функции распределения

4.3 Доказательство сходимости Тп(х) к предельной функции распределения почти наверное
5 Заключение

1 Введение
Теория случайных матриц - активно развивающаяся в последние десятилетия область математики. В начале 50-х годов прошлого столетия Вигнер предложил использовать матрицы большой размерности, элементы которых суть гауссовские случайные величины, для описания дискретной части спектра гамильтониана взаимодействия элементарных частиц тяжелых атомов. Это дало толчок к развитию теории случайных матриц, нашедшей широкое применение в различных областях знаний. Значительный прогресс в изучении асимптотики поведения спектра случайных матриц был достигнут буквально в последние годы.
Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных чисел случайных матриц, размер которых стремится к бесконечности. Пусть есть некоторая последовательность случайных матриц имеющих размер п X п. Напомним основные определения.
Определение 1. Комплексное число А называется собственным числом матрицы если существует такой вектор V £ Сп, что
= Хи.
Определение 2. Эмпирическим спектральным распределением матрицы УП называют меру на множестве комплексных чисел
МпО4) = -#{* : А* е А,г е {1

Рассмотрим преобразование Стилтьеса и моменты распределения Марченко-Пастура.
Преобразование Стилтьеса меры с плотностью г'(ж) имеет вид , , 1 1 -у-г+ у/( 1 -у- г)2- 4 у г
5(г)
£ - г 2 у г
_ I — у — г + /[г — а){Ъ - г)
2 уг
Легко проверяется, что эта функция удовлетворяет функциональному уравнению
1 + — а(;г)(1 — у — угв(г)) = 0. (13)
При аналитическом подходе к доказательству теоремы Марченко-Пастура рассматривается резольвентная матрица ЩД = (М — гТ)~1, где I - единичная матрица к х к. Доказывается, что нормированный след резольвентной матрицы еп(г) = ТгК(г) удовлетворяет уравнению, аналогичному (13), а именно
1 + гвп(г) - а„(Д(1 - у - угзп(г)) = еп(г), (14)
где £п(г) стремится к 0 равномерно по 2 при п стремящемся к бесконечности. Из этого следует, что 5га(г) стремится к в (г).
Заметим, что границы носителя предельной меры можно получить непосредственно из уравнения (13). Действительно, если г - вещественное число, то Дг) определено тогда и только тогда, когда 2 не