Некоторые предельные теоремы для ассоциированных случайных полей

• Автор: Вронский, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Оглавление
Введение.
1. Неравенство типа Розенталя
и скорость сходимости в УЗБЧ для сумм ассоциированных случайных величин.
2. Центральная предельная теорема для сумм ассоциированных случайных величин.
3. Статистический вариант ЦПТ для ассоциированных случайных полей.
Литература.
Введение.
Предельные теоремы для сумм случайных величин (с.в.) составляют один из самых важных разделов теории вероятностей. Лучше всего исследованы задачи, связанные с суммированием независимых с.в. (современное состояние этой теории отражено в монографиях [16, 20]). Однако еще классиками - A.A. Марковым, С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым, П. Леви, А.Я. Хинчиным было начато исследование асимптотических свойств сумм зависимых с.в. В настоящее время имеются обширные классы зависимых с.в. с достаточно хорошо исследованными асимптотическими свойствами (например с.в., заданные на множестве Ж или Z, и образующие марковский процесс, мартингал, процесс с определенным типом перемешивания). Методы доказательства предельных теорем и сами результаты, вообще говоря, существенно зависят от того, какому классу принадлежат исследуемые величины.
Данная работа посвящена изучению некоторых асимптотических свойств сумм действительных с.в., заданных на вероятностном пространстве (П, Т, Р) и являющихся ассоциированными. Главным образом, исследуются вопросы, связанные с уточнением закона больших чисел и с центральной предельной теоремой для таких сумм.
Напомним определение ассоциированности. Случайные величины Y(t), t £ Т, параметризованные элементами некоторого множества Т, называются ассоциированными, если для любого конечного подмножества {ti
cov(/(Y),S(Y))>0. (1)
Это определение было сформулировано Дж. Изери и др. в [44]. Там же были доказаны следующие важные свойства ассоциированных с.в.:
1) одна с.в. является ассоциированной (неравенство Чебышёва);

2) независимые с.в. являются ассоциированными;
3) ассоциированные некоррелированные с.в. - независимы;
4) неубывающие функции от ассоциированных с.в. являются ассоциированными.
Из третьего свойства следует, что ковариация может служить мерой зависимости ассоциированных с.в. Это, в свою очередь, обуславливает тот факт, что предельные теоремы для системы ассоциированных с.в. формулируются в терминах ее ковариационной функции и моментных ограничений на слагаемые. Такие условия просто проверяемы, тогда как, например оценка коэффициента перемешивания для конкретного случайного процесса является весьма нетривиальной задачей (см. например [11, 14]).
Понятие ассоциированности почти одновременно возникло в нескольких областях. Первым, кто использовал корреляционные неравенства типа (1), был, по-видимому, Т. Харрис. В [47] он фактически установил ассоциированность индикаторов 1(А), ЦВ), где А и В -некие множества, возникающие в модели перколяции по двумерной решетке Ж2, и вывел при помощи неравенства Р(АВ) > Р(А)Р(В) оценку р > 1/2 для пороговой вероятности в этом случае.
Несколько классов многомерных распределений, удовлетворяющих условиям типа (1) ввел Е. Леман. В [52] он применил их к некоторым задачам математической статистики. Необходимо также упомянуть о введенном С. Карлином примерно в то же время понятии полной положительности функции (многомерной плотности), тесно связанным с неравенствами типа (1). Ассоциированные с.в. естественным образом проявились во многих задачах теории надежности (в русском переводе монографии Р. Э. Барлоу и Ф. Прошана [1] они названы связанными). Важной областью применения ассоциированности также оказалась теория точечных процессов и радоновых случайных мер. В работах [35, 36, 43] доказано, что во многих важных случаях случайные меры X на В, & > 1 являются ассоциированными (т.е

Доказательство теоремы 1.5. Как и в доказательстве теоремы 1.3, рассмотрим урезанные величины Xj(v„), S(Un, vn), М(Un, vn), где мы обозначили vn = U„. Аналогично одномерному случаю будем иметь
Р(M(Un) > 2е<) < Р(M(Un,vn) > g<) + t)„P(|Xi| > <).
Поскольку, очевидно, условие (31) влечет выполнение условия (4) с некоторым v > 0, то, применяя максимальное неравенство Булин-ского - Кина (см. лемму 4), а также учитывая, что ен“-1/2 неограниченно возрастает при п -> оо, получим, что при всех достаточно больших п справедливо неравенство
Р(M(U„,vn) > evan) < 2P(|S(t/„,iy)| > £ Значит, по неравенству Чебышева,
Р[M(Umvn) > evan) < 2k+le-kv-ka\S(Vmvn)\l
а по теореме
Р(М(Н„,0 > £<) < 2k+1e~kv~ka2Cx
где С — не зависит от п (п столь велико, что <7-2EA'i(h„)2 > 1/2). Далее доказательство проводится также, как и в одномерном случае. Действительно
п-М((ср-1)-(а-1/2)к) <
П—1 п
согласно выбору к.
Вводя снова обозначение pj = Р(j — 1 < |ATi| < j), j G N получим, что либо при всех достаточно больших п выполняется ||-Yi(n„)||f+i >
1, и тогда