Комбинаторные валюации в интегральной и стохастической геометрии

• Автор: Оганян, Виктор Кароевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 172 с.

СОДЕРЖАНИЕ
страницы
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ
ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С
§1.1. Введение
§1.2. Вычисление предела Крофтона
§1.3. Доказательство Теоремы
§1.4. Проверка
ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ 4-АЯ ПРОБЛЕМА
ГИЛЬБЕРТА
§2.1. Введение
§2.2. Однопараметрическое семейство
§2.3. Семейство сегментных опорных функций
§2.4. Случай римановых метрик
§2.5. Примеры
ГЛАВА 3. ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ
ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ 1Е
Введение
§3.1. Кольцо Сильвестра в 1Е
§3.2. Валюация Ф
§3.3. Стереография
§3.4. Блоки и их фрагменты
§3.5. Интегральные суммы Римана
§3.6. Возврат к функционалу Ф
§3.7. Анализ первого порядка

§3.8. Тригонометрический вид плотности р
§3.9. Дифференциальное уравнение для функций А, В, С
§3.10. Достаточность дифференциального уравнения (3.93)
§3.11. Результат анализа первого порядка
§3.12. Анализ второго порядка
§3.13. Валюации на плоскости г
§3.14. Разложение по направлениям осей ж и у
§3.15. Полулокальные условия
§3.16. Необходимые и достаточные локальные условия
для (3.154)
§3.17. Достаточные условия для (3.155)
§3.18. Необходимые и достаточные условия для (3.150)
§3.19. Основной результат
ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ
§4.1. Введение
§4.2. Доказательство Теоремы 4.1 и вывод следствий
§4.3. Доказательство Теоремы 4.2 и вывод следствий
§4.4. Доказательство Теоремы 4.3 и вывод следствий
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Жп — п-мерное евклидово пространство, Ж1 = Ж;
С — пространство прямых в Ж2, д £С;
1Е — пространство плоскостей в Ж3, е Е Ж;
1МП — группа евклидовых движений Жп, М Е 1М„,;
Тп — группа параллельных переносов Жп, I Е Тп;
В{Х) — сг-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства Х
Во{Х) — класс ограниченных борелевских подмножеств топологического пространства X;
8 — единичная окружность с отождествленными диаметрально противоположными точками (пространство направлений прямых д Е С в Ж2);
82 — единичная сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками, (пространство направлений прямых в Ж3);
8 (7) — пространство направлений в плоскости ортогональной прямой
7 С Ж3;
/д(ж) — индикатор множества А, т.е. 1а(х) = 1, если х Е А и /а(х) = О в противном случае;
[£Р] = {2ЕС: <7 разделяет точки и Р}; или (в Главе 3) [<5Р] = {е Е Ж: е разделяет точки <3 и Р};
/ = (Р,д) — флаг на плоскости Ж2, т.е. пара состоящая из точки Р Е Ж2 и прямой д Е С проходящей через точку Р. Эквивалентной является запись / = (Р, ср), где Р Е Ж2 и ср Е 8 есть направление прямой д С Ж2;
f = (Р,7, е) — флаг в Ж3, т.е. триада, состоящая из точки Р Е Ж3, прямой 7, проходящей через Р и плоскости е, проходящей через 7. Эквивалентной является запись / = Р Е Ж3, 81 Е 82, ф Е £1(7)5 гДе

Следствие 2.1. Функция (2.3) с ненулевой функцией длины 1(х,у) есть плотность класса 77 на всей плоскости Ш.2 тогда и только тогда, когда функция ориентации а(х, у) постоянна. На подмножествах Ж2 существуют плотности класса 77 вида (2.3) с непостоянной функцией а(т,у). В частности, получаем, что в Теореме 2.3 условие гладкости существенно: однопараметрическое семейство Примера 2.1 полученное фиксированием ориентации а не есть семейство Минковского.
§2.4 рассматривается риманово семейство Примера 2.2. В этом случае условие (2.7) всегда удовлетворяется. Мы получаем следующие результаты.
Теорема 2.3. Если плоская Риманова метрика (2.5) принадлежит классу 77, то функция ориентации а(х, у) необходимо гармоническая и удовлетворяет следующему дополнительному уравнению
/ да2 (<9а2 д2а
дх) ду ) дхду
сое 2а
да да д2а дх ду ду2
+ вт 2а
= 0. (2.9)
да да дЬ да „
Производные —, —, —— и — представляют собой линейные
дх ду дх ду
да да
комбинации производных —— и —— (см. (2.42)). В частности,
дхду
если а(х, у) — постоянна, то а(х, у) и Ь(х, у) необходимо константы.
Говорим, что функция а(х,у) имеет табу-направление а0, если
{(ж, у): а(х,у) = а0} = 0.
Из теоремы Лиувиля об ограниченной гармонической функции получаем:
Следствие 2.2. Пусть плоская риманова метрика (2.5) определена на всей плоскости Ж2 и принадлежит классу 77. Если существует табу-направление, то функции а(х,у), Ь(х,у) и а(х,у) суть константы.