Асимптотическая эффективность критериев согласия, основанных на характеризационных свойствах распределений

• Автор: Волкова, Ксения Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 144 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Вспомогательные сведения
1.1 Сведения из теории и- И V—статистик
1.2 Определение и вычисление бахадуровской эффективности
1.3 Большие уклонения II— и V—статистик
2 Критерии экспоненциальное™
2.1 Характеризация Россберга
2.1.1 Статистика Iе
2.1.2 Статистика ИЕ
2.2 Характеризация Ахсануллаха, первый случай
2.2.1 Статистика 1нх
2.2.2 Статистика
2.3 Характеризация Ахсануллаха, второй случай
2.3.1 Статистика 1к2
2.3.2 Статистика
2.4 Характеризация Шимидзу
2.4.1 Статистика 1Егт
2.4.2 Статистика 0Ехт
2.5 Условия локальной асимптотической оптимальности
3 Критерии нормальности
3.1 Статистика 1к
3.2 Статистика
4 Критерии согласия со степенным законом
4.1 Статистика 1ЕЕ
4.2 Статистика Б™
4.3 Условия локальной асимптотической оптимальности

5 Критерии согласия с законом арксинуса
5.1 Статистика
5.2 Статистика
5.3 Условия локальной асимптотической оптимальности
Заключение

Введение
Цель настоящей диссертации - построение и исследование ряда новых критериев согласия, основанных на характеризациях распределений, а также вычисление их асимптотической относительной эффективности.
Математическая теория проверки гипотез была создана Ю. Нейманом и
Э. Пирсоном в 1930-х годах, и с тех пор построение статистических критериев и изучение их асимптотических свойств является одним из важнейших разделов математической статистики. В настоящий момент существует огромное множество критериев для проверки гипотез. Например, в недавней монографии [4] подробно описано около 250-ти статистических критериев.
Большое многообразие критериев обусловлено тем, что для проверки гипотез даже в классических параметрических моделях лишь в редких случаях удается построить критерий, который является наилучшим, оптимальным (равномерно наиболее мощным) критерием. Поэтому многие тесты предлагаются их авторами из эвристических соображений, примерами могут служить знаменитые критерии хи-квадрат, Колмогорова и омега-квадрат. Далее, как отмечается в [3], на практике иногда удобнее использовать более простые с точки зрения вычислений критерии, так возникли, скажем, ранговые критерии. Еще один источник появления новых критериев - неопределенность при построении исходной модели, в этом случае оправдано построение устойчивых, робастных критериев, свойства которых мало меняются при изменении априорных предположени it.
Кроме того, нужно учитывать, что любую гипотезу следует проверять с помощью нескольких возможных критериев, поскольку с абсолютной уверенностью ее можно лишь отвергнуть, а каждый новый критерий, не отвергающий гипотезу, лишь постепенно приближает статистика к осознанию ее справедливости. В афористической форме это выражено в знаменитой фразе А.Эйнштейна [33]: "Keine noch so grosse Zahl von Experimenten kann beweisen, dass ich recht habe; ein einziges Experiment kann beweisen, dass ich unrecht habe."(Эксперимент не может подтвердить теорию, он может лишь опроверг-

тральной статистики. Таким образом, проекции ядер равны
£я0, t) = 1{а >t}{l~ + e_2s(e4 - 1)) + l{s < t}( 1 - e_2s)+
+(e~2s(l - e-24) - 1 + e-2t).

Теперь вычислим др(1) = Ер(Е, £) при Щ. Вычисления дают:
ад = |ге-3'(-2е-3' + в- + 1).
Поэтому наше семейство ядер Ец(Х, У, невырождено в смысле [65], [64], и
й| = 8ир<5|(<) » 0.03532.

Это значение потребуется нам ниже для вычисления асимптотики больших уклонений.
Предельное распределение статистики неизвестно. Однако опираясь на методы работы [81], можно показать, что О-эмпирический процесс
Чп{Ъ) = у/п (я*($) - 0,
слабо сходится в 0(0, оо) при п —> оо к некоторому центрированному гауссовскому процессу г]({) с явно вычисляемой ковариацией.