Проективные структуры на комплексных кривых и уравнения Хитчина

• Автор: Маркарян, Никита Суренович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Б. м.
• Количество страниц: 36 с.

Н.С. МАРКАРЯН
Введение. Исторические замечания
Теория проективных структур берет Свое начало в работах Римана, Шварца, Клейна и др. Проективные структуры были полезны для решения дифференциальных уравнений на римановых поверхностях. Производная Шварца впервые появилась в работе Лагранжа [Ь], бидифференциал Клейна — в [К].
Э. Картан в 1904 году показал, что проективные структуры — единственные интересные геометрические структуры на одномерных комплексных многооб-разиях([Са]). Рассматривались также проективные структуры с ветвлением. Например, проективная структура с ветвлением и тривиальной монодромией на комплексной кривой есть ее разветвленное накрытие римановой сферы.
Пространство модулей проективных структур на компактной поверхности впервые рассмотрел Пуанкаре. Он доказал, что это пространство этально накрывает пространство представлений фундаментальной группы, то есть проективная структура локально определяется своей монодромией (современное доказательство см. [НЬ]). Он также сделал ошибочное предположение, что это верно и глобально. Контрпример к этой гипотезе Пуанкаре был построен только в 1975 году Маскитом и Хейхалом ([Не]). На самом деле слой над точкой отображения монодромии, вообще говоря, бесконечен. Поиск тех геометрических объектов, которые стоят за этим множеством — самая интригующая задача в теории проективных структур. Вейль ставил эту задачу в связи с арифметическими вопросами в [Уе].
Проективная структура определяет представление фундаментальной группы, то есть расслоение с плоской связностью. Работы [ББ], [в], [Т] включили теорию проективных структур на комплексной кривой в теорию многомерных векторных расслоений. Обзору аналитических методов исследования проективных структур посвящена вторая часть нашей работы.
Другое направление исследования проективных структур начинается также с работ Пуанкаре. Речь идет о представлении комплексной кривой в виде фактора верхней полуплоскости по действию вещественного проективного представления фундаментальной группы. Такое представление снабжает кривую проективной структурой, которая называется фуксовой. Терстон в замечательной книге [ТЬ] привел способ деформировать эту проективную структуру по геодезической измеримой ламинации. Этот метод принадлежит гиперболической геометрии. Позже Голдман ([Со]), также используя методы гиперболической геометрии, и вдохновленный результатами Терстона показал, что пример Маскита и Хейхала исчерпывает всю неоднозначность, с которой проективная структура с фуксовой монодромией определяется своей монодромией. Таким образом, был описан слой отображения монодромии над фуксовыми группами. Краткий и неполный обзор этих методов, которые мы условно назвали топологическими, предпринят в первой части работы.
Сложность теории проективных структур есть проявление общей проблемы “глобальное—локальное”. У проективной структуры есть два проявления: глобальное (монодромия) и локальное (локальная проективная координата). Изучение этих проявлений по отдельности не слишком сложно, сложность состоит в переходе от одной картины к другой. Таким связующим звеном, по нашему мнению, могла бы стать гармоническая теория. Связь осуществляет-
ПРОЕКТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ И УРАВНЕНИЯ ХИТЧИНА

ся обычным образом: у топологического объекта выбирается гармонический представитель, который затем изучается локально.
В третьей части мы приведем основные результаты о гармонических метриках на плоских расслоениях. Это теория активно развивалась в 80-х годах усилиями Корлетт, Дональдсона, Симпсона и др.. Вопросами гармонических отображений в нелинейные пространства стали активно заниматься в последние десятилетия в связи с запросами математической физики. Практически все сведения о гармонических метриках, которые нам понадобятся, содержатся в статье Хитчина [Н]. Главный объект этой работы — пространство решений уравнения автодуальности. С одной стороны, оно совпадает с пространством модулей стабильных пар на комплексной кривой; с другой стороны, согласно теореме Корлетт и Дональдсона оно совпадает с пространством модулей неприводимых представлений фундаментальной группы. Эту работу можно считать продолжением в комплексную область результатов Нарасимхана и Се-шадри [N8], отождествляющих пространство модулей стабильных расслоений с пространством унитарных представлений фундаментальной группы.
Несмотря на то, что один из первых результатов о проективных структурах — фуксова проективная структура — принадлежит гармонической теории, гармонические метрики, кажется, до сих пор не применялись к исследованию проективных структур. Первые шаги в этом направлении сделаны нами в третьей части работы. Мы описываем образ при отображении монодромии множества проективных структур на данной комплексной кривой, используя изоморфизм Корлетт и Дональдсона, в терминах системы Хитчина.
В четвертой части мы обсудим полученный результат. В частности, мы обнаружим связь проективных структур, обладающих вещественной монодро-мией с теорией штребелевых квадратичных дифференциалов (см. г]). Воспользовавшись этой связью, мы опишем множество проективных структур с вещественными монодромиями. Это позволит ответить нам на вопрос, поставленный Маскитом в [М] (этот результат был недавно анонсирован Г алло [Са]), а также заново получить результат Голдмана о проективных структурах с фуксовыми монодромиями.
Обнаруженная связь проективных структур с вещественными монодромиями со штребелевыми дифференциалами, а, значит, с ламинациями, позволит нам сформулировать гипотезу о том, как связана конструкция Терстона с гармоническим координатами. Эта гипотеза кажется нам важной потому, что она связывает разделы математики, ранее казавшиеся далекими друг от друга. Мы докажем гипотезу для проективных структур с фуксовыми монодромиями.
В заключение мы коснемся теории проективных структур с ветвлением. В качестве приложения уравнений Хитчина, мы построим обобщение фуксовой униформизирующей координаты для таких проективных структур.
Мы не будем затрагивать такой обширной области исследования как изучение квазиконформных деформаций римановых поверхностей, связанной с именами Альфорса, Берса и др., которая широко применялась к изучению проективных структур (см., например, [НЬ] и другие статьи в этом томе). Отметим только некоторую параллельность результатов этой теории и теории гармонических отображений. Например, отождествление пространства деформаций комплексной структуры на данной кривой с пространством (анти)голоморфных

Н.С. МАРКАРЯН
дифференциалов на ней по Хитчину (см. [Н], а также раздел 3.3 данной работы) и по по Тейхмюллеру (см. [Тг]), а также опубликованное недавно Вольфом ([У]) доказательство существования штребелевых дифференциалов и классическое доказательство ([8<;г]).
1. Проективные структуры — топологический подход.
1. Определение.
Обозначим через вд гладкую ориентированную компактную поверхность рода д > 1. В дальнейшем мы будем считать, что набор образующих ее фундаментальной группы фиксирован.
Определение 1.1. Проективная структура на поверхности Бд задается следующим набором данных:
(1) покрытие Бд конечным набором открытых множеств 5 = и У{
(2) вложения г* : У{ —> СР1
(3) для каждого непустого пересечения У г П Уд определена дробно-линейная функция перехода
№ € АиСР1)
так, что гг = дц о гд на У г П У$ и дц о о ды — 1, если (7г- П У) П У к непусто.
Две проективные структуры эквивалентны, если локально каждая комплексная функция, дробно-линейная относительно координат одной проективной структуры, дробно-линейна также и относительно координат другой.
Понятие проективной структуры на поверхности есть частный случай более общего понятия (2-структуры. Вообще говоря, если дана группа Ли С и ее однородное пространство, можно рассматривать многообразия, склеенные из кусков однородного пространства, посредством действия группы (2. В нашем случае (2 = РБЬ2(С), а однородное пространство есть СР1. Более подробно о (2-структурах см. в [ТЬ, §5].
Обозначение. Пространство модулей проективных структур на поверхности рода д обозначим через V.
2. Монодромия проективной структуры.
Задача о классификации (2-структур на многообразии почти тривиальна в отсутствие фундаментальной группы. Действительно, если многообразие локально изоморфно однородному пространству, этот изоморфизм можно продолжать по любому пути, начав с некоторой точки. В случае тривиальности фундаментальной группы так получается некоторое вложение многообразия в однородное пространство. Если же фундаментальная группа нетривиальна (как в нашем случае), то возникает отображение универсальной накрывающей нашего многообразия и некоторое представление фундаментальной группы (2. Это представление, называемое монодромией (2-структуры является ее важным инвариантом, а, при небольших деформациях (2-структуры, — единственным. Дадим определения для нашего случая.
ПРОЕКТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ И УРАВНЕНИЯ ХИТЧИНА

Заметим, что не существует “фуксовых” проективных с ветвлением в к 2д — 2 точках.
Утверждение 4.1. Не существует проективных структур р с ветвлением в к 2д — 2 точках с вещественной монодромией таких, что С(р) = 0.
Действительно, в этом случае универсальная накрывающая кривой отображалась бы на плоскость Лобачевского, и обратный образ связности Леви-Чевиты доставлял бы связность на линейном расслоении К~1 0 0(D) неположительной кривизны, где D — дивизор ветвления, чего не может быть, так как deg-ЙГ-1 O(D) 0. □
Замечание. Интересно было бы получить топологическое доказательство этого утверждения в духе [Wd].
Так как для проективных структур с ветвлением в k < 2д — 2 точках существуют фуксовы проективные структуры, то должны существовать соответствующие обобщения геодезических измеримых ламинаций, штребелевых дифференциалов и т.д. Возможно, эти конструкции прояснят природу подмножества Нk в Vk
Литература
[Ah] Ahlfors L.V., On quasiconformal mappings, J. Analyse Math., vol. 3, 1954, pp. 1—58.
[Al] Atiyah M. F., Complex analytic connections in fibre bundles, TVans. Amer Math. Soc,
vol. 85:1, 1957, pp. 181-207.
[A2] Атья М., Геометрия и физика узлов, Дополнение, “Мир”, Москва, 1995.
[B] Bers L., Uniformisation. Moduli and Kleinian groups, Bull. London Math. Soc., vol. 4,
1972, pp. 257-300.
[Ca] Cartan E., Sur la structure des groups infinis de transformation, Ann. Ec. Normale, vol. 21, 1904, pp. 153-206.
[C] Corlette K., Flat G-bundles with canonical metrics, J. Diff. Geom, vol. 28, 1988, pp. 361-382.
[D] Donaldson S.K., Twisted harmonic maps and self-duaity eguation, Proc. London Math. Soc. (3), vol. 55, 1987, pp. 127-131.
[DH] Douady A., Hubbard J., On the density of Strebel differentials, Inv. Math., vol. 30, 1975,
pp. 175-179.
[ES] Eells J., Sampson J. H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math
vol. 86, 1964, pp. 109-160.
[EM] Epstein D.B.A., Marden A, Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and
measured pleated surfaces (1986), preprint, University of Warwick.
[Ga] Gallo D.M., Deforming real projective structures, Ann. Acad. Sci. Penn. Mathematica,
vol. 22, 1997, pp. 3-14.
[GGP] Gallo D.M., Goldman W.M., Porter R.M., Projective structures with monodromy in PSL2(R) (1987), preprint.
[G] Ganning R., Lectures on vector bundles over Riemann surfaces, Princeton University Press, 1967.
[Go] Goldman W.M., Projective structures with Fuchsian monodromy, J. Diff. Geom, vol. 25,
1987, pp. 297-326.
[He] Hejhal D.A., Monodromy groups and linearly polymorphic functions, Acta Math., vol. 135,
1975, pp. 1-55.
[H] Hitchin N.Y., The self-duality equation on a Riemann surface, Proc. London Math. Soc. (3), vol. 55, 1987, pp. 59-126.
[Hb] Hubbard J. H., The monodromy of projective structures, Riemann surfaces and related
topics. Stony Brook, Ann. Math., vol. 97, 1980, pp. 257-274.