R - матричный подход в задачах конечнозонного интегрирования

• Автор: Талалаев, Дмитрий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с.

Содержание
1 Введение
2 Система динамики полюсов конечнозонного решения уравнения Дэви-Стюартсона
2.1 Уравнение Дэви-Стюартсона
2.2 Прямая спектральная задача
2.2.1 Спектральная кривая
2.2.2 Аналитические свойства собственных функций
2.3 Обратная спектральная задача
2.3.1 Рациональный случай
2.3.2 Эллиптический случай
2.4 Универсальный подход при построении гамильтоновой структуры
3 Д-матричный подход на примере системы СМ и ее разностного аналога ДЭ
3.1 Основания Д-матричного подхода
3.2 Универсальная Д-матрица
3.3 Квази-хопфова деформация
3.4 Построение гамильтонианов
3.5 Спиновая система ДД
4 Д-матричный подход в случае полюсной динамики решения уравнения Дэви-Стюартсона
4.1 Классическая г-матрица
4.2 Свойства Д-операторной алгебры
5 Заключение '

Введение.
Конечномерные динамические системы теории солитонов первоначально воспринимались в значительной степени лишь как модельные примеры в теории интегрируемых систем. Как оказалось впоследствии, ряд таких систем тесно связан с фундаментальными проблемами математики и математической физики. Так в пионерской работе [1] впервые была обнаружена связь между рациональными или эллиптическими решениями уравнения КдФ, и рациональной или эллиптической системой Calogelo-Moser(CM [2]). Наиболее полное понимании природы такой связи возникло с приходом алгебро-геометрического метода обратной задачи, разработанного в работах [3], [4]. А именно, было установлено, что условие существования собственной функции специального вида у вспомогательного линейного оператора, построенного по представлению Лакса, эквивалентно тому, что динамика полюсов решения нелинейного уравнения описывается системой такого типа. В работе [5] был установлен изоморфизм между эллиптическими решениями матричного уравнения КП и решениями спиновой системы СМ. В работе [6] в качестве нелинейного уравнения было взято разностно-дифференциальное уравнение двумеризованной цепочки Тода. Роль системы, описывающей динамику полюсов решения уравнения, выполняет спиновая система 11щ)8епааг8-8с]:те1с1ег(К8 [7]).
Алебро-геометрические конструкции прямой и обратной задачи, используемые в работах [5],[6], представляют богатейший математический аппарат. Алгебраические объекты, “живущие” на кривой, такие как пространства функций Бейкера-Ахиезера, пространства абелевых дифференциалов, обладающие высокой степенью симметричности, позволяют явно конструировать решения динамической системы и нелиней-

ного уравнения в терминах 0-функций на Якобиане кривой.
Существенным при всех дальнейших рассмотрениях является наличие у нелинейного уравнения представления Лакса
С=[М,С]
или представления нулевой кривизны
[д( - С,ду- М] = 0.
Оказывается, что факт существования решения вспомогательной линейной задачи
(д, -С) Ф
для оператора с двоякопериодическими коэффициентами в виде двоякоблоховской функции Ф является столь ограничительным условием, что в ряде случаев позволяет однозначно восстанавливать С, М пару, а следовательно и решение нелиней-
ного уравнения. Пространство двоякоблоховских функций с фиксированным количеством полюсов при каждом значении t может быть рассмотрено как конечномерное пространство. Оператор, фигурирующий во вспомогательной линейной задаче отображает это пространство в пространство большей размерности. Именно поэтому на коэффициенты разложения по базису решения Ф возникает переопределенная система уравнений, в большинстве случаев имеющая вид:
(I — к)С = 0, (1.1)
($ - А)С = 0, (1.2)
где Ь - уже конечномерный оператор, зависящий от спектрального параметра 2, параметризующего вместе с параметром к пространство блоховских факторов. Условие совместности этих уравнений, то есть уравнение Лакса, является конечномерной динамической системой на полюса х, собственной функции. Существование решения уравнения (1.1) задает уравнение кривой в виде
с1еЦЬ — к) = 0.
Коэффициенты этого полинома не зависят от { и предоставляют набор интегралов системы. Кроме того, данная собственная функция при некоторой нормировке

на фазовом пространстве рассматриваемой системы. Как будет показано далее эта симплектическая форма может быть преобразована в выражение в терминах фазовых переменных системы и будет определять симплектическую структуру фазового пространства.
Заметим, что уравнения (2.3)
преобразований
а] и- ИЕ.аЬ
ь?+н. Гиг1,
а] ИЕ«;, ь}+Ы+ш2-'.
Зафиксируем калибровку ИД, таким образом, что матрицы
ИКГХЕ+, ИЕГ (2.64)

были диагональными. Будем обозначать преобразованные величины большими буквами А1?, В™. Свойство диагональности матриц (2.64) приобретает вид:

Е А1вт

Действительно, главная часть оператора Лакса в общем рациональном случае в точках Р[,г — 0 равна (В/+А|). Собственный вектор в этих точках, согласно выбранной калибровке, будет пропорционален вектору В1т по нижнему индексу. Аналогично получим, что в точках Р;, г = —г/, собственный вектор пропорционален В2т. В эллиптическом и рациональном специальном случае необходимо принять в расчет, что

Е4 = о,
и это свойство инвариантно относительно калибровочных преобразований. Главная часть оператора Лакса в точках Р/, г = 0 равна {В}+А2)—(В2+А*). Подставляя вектор Вт в этот оператор, получим
Ет+А2) - (В?+А}))В]т = Е(В!+А2)В}т = ктВт.