Гомотопические свойства расслоений со структурной группой автоморфизмов матричных алгебр

• Автор: Ершов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

Оглавление
Введение
1 Общие свойства расслоений на алгебры
1.1 Основные определения
1.2 Матричные грассмапиапы
2 Матричные грассманианы как классифицирующие пространства РА
2.1 Гомотопические группы матричных грассманианов
2.2 Универсальность канонических расслоений над матричными грасс май ианам и
3 А-функторы, связанные с расслоениями на алгебры
3.1 АТ-функтор, связанный с множеством всех расслоений
на алгебры, и представляющее его пространство
3.2 АТ-функтор, связанный с плавающими расслоениями
на алгебры
3.3 Связь функтора АВ с К311-теорией
3.4 Заключение
Введение
Теория векторных расслоений и связанная с ними топологическая А-теория игра,ют важную роль как в самой топологии, так и в других разделах математики. Это давно уже ставшая классической область математики была в основном развита в конце 50-х - начале 60-х годов в работах Дж. Адамса, М. Атьи, Р. Ботта, Ф. Хирцебруха и других авторов (см., например, монографии [2], [9|, [26]). Тогда же было замечено, что комплексная и вещественная А'-теории являются примерами т.п. обобщённых теорий когомологий. С тех пор было построено множество интересных примеров таких теорий, среди них - теории, связанные с группами единиц в кольцах обобщённых теорий когомологий с достаточно хорошим умножением. Например, рассмотрим мультипликативную группу О(Х) сумм вида 1 + ж, ж 6 Кс(Х), где Кс ~ приведённый комплексный А'-функтор. Известно |29], что С(Х) является нулевым членом некоторой теории когомологий. Легко видеть, что группа С(Х) представляется //-пространством В11т.е. пространством ВЦ со структурным отображением /г: ВЦ х В11 -» В11, определённым с помощью тензорного перемножения виртуальных расслоений виртуальной размерности 1. Тогда приведённое утверждение эквивалентно тому, что //-пространство /ЗА® является бесконечнократным пространством петель [1]. Это же верно и для пространства /35//®, т.е. данное про-

страиство представляет гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп, который является нулевым членом некоторой обобщённой теории когомологий. Однако само определение этой группы (как группы виртуальных 3(3-расслоений виртуальной размерности 1) является довольно формальным, было бы интересно получить интерпретацию элементов этой группы (а также групповой операции) в терминах каких-либо известных геометрических объектов. Это, в частности, открывало бы перспективу приложения данной теории, например, к гладким многообразиям. В данной работе такая интерпретация получена с помощью некоторого специального класса расслоений со слоем матричная алгебра (или, что приводит к эквивалентной теории, проективное пространство).
Задача построения и изучения теории, рассматриваемой в данной работе, возникла из следующих предпосылок.
(1) Пусть М/у(С) фиксированная алгебра комплексных матриц размера Ы х Ы, в которую матричная же алгебра .4д, изоморфная Мк(С), вложена как центральная простая подалгебра. Тогда для последней канонически определена дополнительная подалгебра В1 в Мц(С), изоморфная М/(С), такая что
Ак® В[ = М/фС) ифП5, = С -- центр алгебры М*/( С)

этом В1 есть централизатор подалгебры А/, в Мщ{С) и операция взятия централизатора штволютивна на центральных простых подалгебрах, т.е. дополнительная подалгебра к В1 совпадает с Ак- Эти результаты переносятся на случай центральных простых алгебр над полем К (см. §1.1). Здесь видна аналогия с невырожденным скалярным произведением на векторном пространстве, позволяющем для каждого подпространства опреде-

ностей (в стабильных размерностях): О
7Г2Г+1 {РЩкН2))
п2г+1(Ри(к1))
•7г 2г+1(Ри(к212)/Ек2®Ри{12)) тг2г+1(Ри(Ы)/Ек®Ри(1))-

-0.
При г > 1 эта диаграмма эквивалентна следующей:

Ъ—г-Z/A:2Z

(2.11)
(2.12)
Ъ/кХ-
а при г
О —- Ъ/РЪ —- Ъ/к2РЪ —- Ъ/к2Ъ
1 ) "[ (2.13)
О * >2/ А:/2--- Z/A;Z--0.
Отсюда нетрудно видеть, что а* есть отображение /3(тос1 кЩ И-А;//3(тос1 Л;2), Ъ/кЪ —> /А:2; т.к. (А;,/) = 1, то ад — вложение. Поэтому жг(1ипРи(кЧ°)/Ек* ® РЩ15)) = lunZ/A:sZ = Z [±] /г

при г2и+1,и>0и0в противном случае.
В случае (II), действуя аналогичным образом, получаем что
а*: л2г+1(Ри(кп)/Ект ® Ри{кп~т)) ->
-> 7Г2Г+1 (РС/(АП+1)/т ® Ри{кп~т+1))
есть отображение
Z/A:mZ -У Z/AmZ, Р(тос! А:т2) и- А(тос1 ктЪ),
(2.14)