Построение специальных спайнов многообразий Вальдхаузена

• Автор: Овчинников, Михаил Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 96 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Представление гомеотопий тора
./-полиэдрами
§1. Алгебра и геометрия Гполиэдров
§2. Тонное представление гомеотопий тора
§3. Приложения /-полиэдров в теории спайнов
Глава 2. Построение специальных спайнов
многообразий Вальдхаузена
§1. И'-слайны и многообразия Вальдхаузена
§2. Алгоритм построения 1П-спайна замкнутого
граф-многообразия
§3. Доказательство теоремы и корректности
алгоритма
§4. Об экономности 1Г’-спайнов
§5. Простые спайны некоторых классических
многообразий
Глава 3. П'-спайны и разветвленные накрытия
§1. О связи симметрии 1Г-спанна "длинная восьмерка” и инволюции двулистного разветвленного накрытия
§2. Индуцирование зацепления ветвления спайном
"длинная восьмерка”
§3. Индуцирование диаграммы зацепления ветвления
диаграммой спайна “длинная восьмерка”
§4. Коды четырехсплетений и диаграмм линз

Глава 4. Свойства представлений Тураева-Виро группы тора и инвариантов Тураева-Виро многообразий Вальдхаузена
§1. ТКТП Тураева-Виро
§2. И—спайны и ТКТП Тураева-Виро
Приложение Таблица замкнутых 3-многообразий сложностей 1-7 и их минимальных
1Г-спайнов
§1. Содержание таблицы
§2. Особенности в обозначениях многообразий
§3. Описания минимальных И'-спайнов
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Трехмерные многообразия можно охарактеризовать как пространства, локально устроенные так же, как наше пространство, в котором все мы живем. Эта близость к нашему мировосприятию придает особую интригу тому обстоятельству, что проблемы трехмерной топологии, при всей наглядности и понятности даже математикам, неспециалистам в этой области, оказываются подчас очень трудными. Наиболее известные примеры таких проблем это гипотеза Пуанкаре и проблема классификации 3-многообразий. Одним из основных подходов к исследованиям проблем топологии многообразий является использование наиболее удачного, с точки зрения исследуемой задачи, способа представления многообразий. Специальные спайны — один из наглядных способов задания 3-многообразий.
Специальные спайны как способ представления 3-многообразий успешно использовались С. Матвеевым ((27, 10]), Д. Тиллманом и Д. Ролфсеном ([6]), Дж. Виксом1 ([1]) при получении новых результатов, касающихся классических проблем топологии 3-многообразий: гипотезы Пуанкаре, гипотезы Зимана, гипотезы Эндрюса-Кертиса, проблемы вычисления объемов гиперболических многообразий. В. Тураев и О. Виро использовали специальные спайны для построения квантовых инвариантов 3-многообразий ([18, 17]).
Гомеоморфизмы тора в топологии 3-многообразий занимают особое место. С одной стороны, они устроены значительно проще, чем гомеоморфизмы любой поверхности большего рода. С другой — для получения любого замкнутого ориентируемого 3-многообразия достаточно вырезания из 3-сферы нескольких полноторий с последующим вклеиванием их обратно по подходящим гомеоморфизмам торов на себя. Многообразия Зейферта и многообразия Вальдхаузена имеют только торические края. В знаменитой геометризационной гипотезе Терстона речь идет о каноническом разрезании многообразий вдоль торов. Эти обстоятельства обусловливают актуальность исследования связей специальных спайнов с торами в 3-многообразиях.
°Работа выполнена при поддержке грантами РФФИ N 99-01-00813 и “Университеты России (фундаментальные исследования)” N 992742
'На двойственном языке сингулярных триангуляций

отличным от диктуемых размеченными тэта-кривыми.
Применяя теорему 2 и следствие из нее последовательно для каждого переклеиваемого тора, мы постепенно заменяем гомеоморфизмы склейки торов на исходные. Получающиеся на каждом шаге полиэдры сохраняют свойство быть простым спайном получающегося многообразия.
Последнее получившееся многообразие гомеоморфно М, а последний полиэдр Р является простым спайном М.
Доказательство теоремы 3 завершено.
Корректность алгоритма
В главе 1 показано, что любой размеченный Д-полиэдр можно представить как последовательную склейку элементарных полиэдров, обозначаемых нами 1, —1, (12), (23), (13), Д, соответственно разложению матрицы А, соответствующей данному размеченному Д-полиэдру, в произведение инволютивных матриц Ль Л_ь Л(12), Д(23)> (13)> А/-Из этого замечания и из доказательства теоремы 3 корректность алгоритма следует непосредственно.
Примечание.
1. Вообще говоря, есть два топологически разных способа вклеить полиэдр Т. Если а, 6, с обозначают ориентированные третьи ребра тэта-кривых, к которым приклеивается Т, то их естественные проекции на треугольный подграф сингулярного графа полиэдра Т размечают с учетом ориентации либо аЬс, либо асЬ. Следовательно, алгоритм определяет спайн неоднозначно. Тем не менее, независимо от выбора вклеек полиэдров Т, полиэдр оказывается простым спайном данного многообразия.
2. Обычно единичную матрицу считают всегда реализуемой как произведение пустого множества образующих матриц. Матрица А указана явно, чтобы не вводить здесь особого “единичного полиэдра”, что естественно потребует “произведения” полиэдров и т.п.