Упорядочения на группах классов отображений и перечислительные вопросы маломерной топологии

• Автор: Малютин, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 110 с.

Оглавление
Глава 0. Введение
§0.1. Классификация узлов и зацеплений §0.2. Упорядочения на группах классов отображений §0.3. Алгоритмы сравнения и распознавания §0.4. Структура работы
Глава I. Порядки на группах
§1.1. Представления групп порядковыми автоморфизмами
§1.2. Порядки на группах
§1.3. Отделяющие порядки представления
§1.4. Вполне отделяющий порядок
§1.5. Вполне отделимый элемент-!»• . ■

§1.6. Характеристика ! . •
§1.7. Некоторые свойства характеристики
Глава II. Группы классов отображений
§2.1. Гомотопическая конструкция порядкового представления
§2.2. Гиперболическая конструкция порядкового представления
§2.3. Связь между двумя представлениями
§2.4. Скручивания Дена и число вращения
§2.5. Вспомогательная лемма
§2.6. Классификация Терстона и число вращения

Глава III. Группа кос
§3.1. Определения
§3.2. Число вращения и отделяющие порядки на группе кос 62 §3.3. Порядок Деорнуа
§3.4. Гипотеза Оревкова
§3.5. Обобщения гипотезы Оревкова
Глава IV. Зацепления и косы
§4.1. Определения
§4.2. Гипотезы Менаско
§4.3. Теорема о возможности операций на косах
Добавление. Алгоритмы сравнения и распознавания §5.1. Элементы теории сложности
§5.2. Гомотопические классы кривых
§5.3. Конечные порядки
§5.4. Вычислимость
§5.5. Алгоритмы сравнения для конечных порядков
§5.6. Алгоритм сравнения для порядка Деорнуа
§5.7. Оценка сложности алгоритма А<и(Вп)
Литература

ВВЕДЕНИЕ
§0.1. Классификация узлов и зацеплений
Ключевым вопросом почти любого раздела маломерной топологии можно назвать вопрос классификации. В теории узлов, занимающей в маломерной топологии важное место и связанной, в той или иной степени, со всеми ее разделами, при всей интенсивности проводимых исследований удовлетворительной классификации до сих пор не получено.
Один из основных подходов к изучению и классификации узлов и зацеплений основан на их связи с группой кос Артина. Александер [2] показал, что любое зацепление представимо в виде замкнутой косы. В 1926 г. Артин [3] описал алгебраическую группу кос. Позже Марков [31] доказал теорему об отношениях между косами, представляющими одно зацепление.
Теорема Маркова утверждает, что две косы (3 и (3% представляют одно зацепление, если и только если от /Зі можно перейти к (32 с помощью конечной последовательности операций сопряжения, стабилизации и дестабилизации (см. главу IV диссертации). В тот момент, когда Марков сформулировал свою теорему, проблема сопряженности в группе кос не была решена. Сейчас решения найдены, но до сих пор не известно, существует ли алгоритм нахождения последовательности операций Маркова, переводящей друг в друга две заданные косы (если они представляют одно и то же зацепление).
Одна из операций Маркова — стабилизация увеличивает на единицу индекс (число нитей) косы. Бирман и Менаско, развивая теорию, направленную на получение классификации зацеплений с помощью кос, попытались “избавиться” от стабилизации и ввели новые опера-
(2.1) ир(р) = шр(д) & / ~ д .
В частности:
(2.1 а) шр(/) = г <£> / .
(2.1 Ъ) иМ = 0 4^ / ~ 1С .
^.1 с; шр(/г) = хир(/).
(2.1 Л) Шр(/р2) = Шр(/) + 2 •
(2-1 е) [шр(/)] = гр(/) .
(2.2) сор(/д) = сор(/)+ир(д) .
Доказательство.
(1.1). Если / ^ [(а)/г - а-]р/г < [(х)дг - х]р/г.
Переходя к пределу, получаем желаемое неравенство.
(2.2). При }'д = 5/ имеем: (/д)г = рдг .
По лемме 1.5.3 |гр((/д)г)/г — гр{р)/г — гр(д‘)/Ц < 1/г.
Переходя к пределу, получаем шр(Д'д) — шр(/) + шр(д).
(2.1 Ь). Пусть д ~ 1а. Из леммы о равносильных условиях вполне отделимости следует, что для дедекиндова пополнения представления найдется элемент х Е А такой, что (х)д = х . Но тогда (х)дг = х . Переходя к пределу, получаем желаемое: шр(д) = 0.
Пусть д 76 1а . Не теряя общности, положим 1 9 ■ Тогда дейст-
вие элемента д неограничено, и для произвольного а £ Л найдется натуральное п такое, что (х)дп > (х)р. Тогда (х)дпг > (х)рг . Переходя к пределу, получаем шр(д) > 1/п.
(2.1). /~д }'д-г ~ 1а & соР(/д~1) = 0 & шр(/)-шр(д) — 0.