Комплексы форм на многообразиях над алгебрами и слоениях

• Автор: Гайсин, Тагир Ильшатович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 80 с.

Глава I. Предварительные сведения
1. Многообразия над алгебрами
2. Слоения
3. Расслоения. Производная Ли
4. Расслоения струй
5. Комплексы. Длинная точная последовательность
6. Р-комплекс Спенсера
Глава II. Комплекс Спенсера, ассоциированный со структурой многообразия над алгеброй
7. Дифференциальный оператор, соответствующий С-структуре
8. Комплекс Спенсера многообразия над алгеброй
Глава III. Базовые функции канонического слоения многообразия над алгеброй
9. Подкомплекс А-дифференцируемых форм, определяемый структурой многообразия над алгеброй
10. К (б)-дифференцируемые функции на двумерном торе
11. К(е)-дифференцируемые формы на двумерном торе
12. Проектируемые отображения слоений и компактные многообразия над локальными алгебрами
13. Некоторые естественные инварианты слоений
Список литературы

Актуальность. Естественность и плодотворность изучения многообразий над алгебрами была подтверждена работами многих математиков. Родоначальником данного направления стал А. П. Котельников ' [24]. В этой области работал немецкий математик Штуди Э. [88]. Широков П. А. с учениками Коппом В. Г. и Петровым П. И. продолжили исследования многообразий над алгебрами [23]. Естественные связи с локальными алгебрами возникают в дифференциальной геометрии высшего порядка, как было показано Вагнером В. В. [3] ( см. также работы Вейля А. [95] и Моримото А. [83] ).
Многие работы Нор дена А. П. посвящены изучению многообразий со структурами, тесно связанными с алгебрами. Ученики Нордена А. П. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В., Нейфельд Э. Г. и другие глубоко развили данное направление (см., например, [4] - [9], [29], [37] - [41], [42] - [49] ). Вышеуказанные работы позволили установить тесную связь между структурой многообразия над алгеброй и касательными структурами высших порядков. Вишневским В. В. введены и изучены новые классы структур, названные полукасательными [б], подробно изучены полиаффинорные структуры, возникающие на многообразиях над алгеброй [4], [7], [5]. Геометрия расслоения струй с помощью теории многообразий над алгебрами изучалась в работах Широкова А. П. [38] и Шурыгина В. В. [42], [43], [46]. Шурыгиным В. В. построена теория когомологий пучков на многообразиях над алгебрами [43], [44], [47] и указаны ее применения.
Необходимо сказать, что с теорией многообразий над алгебрами непосредственно связаны исследования многих математиков, отметим здесь лишь Кручковича Г. И. [25], Розенфельда Б. А. [31].
Поскольку на многообразии над локальной алгеброй естественно определена структура слоения, которая называется каноническим слоением, то аппарат теории слоений используется в теории многообразий над алгебрами. Отметим результаты о канонических слоениях на многообразиях над локальной алгеброй Малахальцева М. А. [26], В.В.Шурыгина [44], [47].
Теория слоений, ведущая свое начало с работ Ж.Риба и Ш.Эресмана, в настоящее время представляет собой развитую область, в которой получено много глубоких результатов. Имеется ряд монографий и обзоров, посвященных различным аспектам теории слоений, например [50],

[78], [80], [97]. Широко известные результаты для слоений коразмерности один получил Новиков С. П. [28]. В данной области ряд результатов получили Шапиро Я. Л. [35] и Игошин В. А. [19].
Каноническое слоение многообразия над локальной алгеброй несет листовую (X, (У)-структуру [46]. В частности, для многообразия над алгеброй дуальных чисел каноническое слоение является аффинным. В [92] рассматривается пучок функций, аффинных вдоль слоев, и пучки аффинных форм, то есть форм, компоненты которых лежат в пучке ’ функций, аффинных вдоль слоев. Отмечается, что так как морфизм аффинных слоений индуцирует морфизм пучков, то группы когомологий с коэффициентами в пучке аффинных форм являются глобальными инвариантами аффинного слоения. Кольцо аффинных функций на двумерном торе изучается в работе Т.Инабы и К.Масуды [70].
Целью данной работы является изучение комплексов форм на многообразиях над локальными алгебрами и слоениях.
Конкретные задачи диссертации:
1) Построение Р-комплекса Спенсера для структуры многообразия над локальной алгеброй.
2) Нахождение вида глобальных Е(е)-дифференцируемых форм на компактном одномерном многообразии над Е(е). Вычисление когомологий комплекса Е(е)-дифференцируемых форм на таком многообразии.
3) Исследование проектируемых отображений компактного многообразия со слоением.
4) Исследование А-дифференцируемых отображений компактного многообразия над локальной алгеброй А в свободный А-модуль произвольной размерности. Оценка размерности пространства вещественных форм, продолжимых до А-дифференцируемых форм на одномерном компактном многообразии над локальной алгеброй А.
Метод исследования. Исследование проводится методами дифференциальной топологии и гомологической алгебры.
Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Материалы диссертации могут войти в содержание спецкурсов по этой тематике.
Результаты, выносимые на защиту. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Приведем из них следующие:
1) Построен Р-комплекс Спенсера для структуры многообразия над локальной алгеброй, и найдено его выражение через известные комплексы на таких многообразиях.

при п —> оо сходится во всех точках множества с мерой, на котором определен исходный ряд. Поточечный предел измеримых функций есть измеримая функция. Множество точек расходимости ряда Е“і к совпадает с прообразом нуля функции £-1(0) — измеримое множество, поскольку і — измеримая функция, что и требовалось.
Теперь возвращаясь к ряду щур мы в качестве упомянутого выше множества В В можем взять все множество точек сходимости ряда, которое, как показано, измеримо. Таким образом мы доказали' нашу лемму. □
Итак, ряд
расходится почти всюду.
Возвращаясь к формуле (35), видим, что в случае Ь(/~1(х)) — Ь(х) ф 0, или, что то же самое, Ь(/(х)) — Ь(х) ф 0, функция Ъ не ограничена на полосе (13), что невозможно в силу периодичности Ь. Далее, обращаясь к (21), и учитывая (40), получаем д'(х) = 0, а из (8) следует окончательное доказательство теоремы 1. □
Из теоремы 1, получим следующую теорему.
Теорема 2. Пересечение ядер линейных операторов

где на компоненту а(х, у) аффинора д налагаются условия а(х, 0) = а(/(х), 1) • /'(ж), а(х + 1 ,у) = а(х, у), с < а(х, у) < С, с, С > 0, у Е [0,1],

пересекает подпространство периодических функций (с периодом 1) по подпространству функций инвариантных относительно диффеоморфизма /, то есть таких функций Ь, что Ъ{х) = 6(/(ж)).