Бесконечно малые изгибания поверхностей с особыми точками

• Автор: Шкрыль, Елена Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение
Глава 1 Предварительные результаты
1. Поверхности класса С2 с коническими точками
1.1. Обобщенный внешний дифференциал
1.2. Уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци для регулярной поверхности класса С
1.3. Определение конической точки
2. Бесконечно малые изгибания регулярных поверхностей
2.1. Изгибающее поде вращении
2.2. Бесконечно малые йзси%шия, плоских областей
2.3. Пример гладкого нетривиального изгибающего поля
на гладкой поверхности с особой точкой
Глава 2 Вспомогательные предложения
1. Специальная параметризация поверхности в окрестности конической точки
1.1. Ортогональное проектирование поверхности на касательный конус
1.2. Аналог явного задания поверхности в окрестности конической точки
2. Поведение поля вращений вблизи особых точек
2.1. Поведение поля вращений в окрестности конической
точки
2.2. Одно интегральное свойство поля вращений в окрестности конической точки
2.3. Поведение поля вращений на регулярных участках ребер
2.4. Поле вращений в вершине

Глава 3 Жесткие склеенные поверхности
1. Вывод интегральных формул
1.1. Интегральные формулы для регулярных поверхностей
класса С
1.2. Интегральные формулы для замкнутых склеенных поверхностей
2. Жесткость овалоида
2.1. Формулировка результата
2.2. Доказательство теорем 3.2.1 и 3.2.
3. Жесткость кусочно выпуклых поверхностей типа тора.
3.1. Построение кусочно выпуклой поверхности рода 1.
3.2. Жесткость кусочно выпуклой поверхности рода
Глава 4 Бесконечно малые изгибания многомерного конуса
1. Регулярные многомерные поверхности в евклидовом пространстве
1.1. Сведения из теории ^-мерных поверхностей В
мерном евклидовом пространстве
1.2. Бесконечно малые изгибания многомерных регулярных поверхностей
2. Признак жесткости многомерного конуса
2.1. Построение многомерного конуса
2.2. Признак жесткости многомерного конуса
Литература
Введение
Основные результаты классической теории бесконечно малых изгибаний поверхностей получены для регулярных достаточно гладких поверхностей (подробный обзор этих результатов изложен в [11, 12]). Исследование бесконечно малых изгибаний поверхностей с особыми точками представляет одну из довольно трудных задач, так как для таких поверхностей классические методы, как правило, неприменимы. Поэтому, если не считать многогранников, то в этом направлении имеются лишь отдельные результаты.
С. Э. Кон-Фоссеном [14] исследованы бесконечно малые изгибания ребристых поверхностей вращения с коническими точками. Б. В. Боярским и И. Н. Векуа [6] доказана жесткость овалоида, склеенного из конечного числа кусков поверхностей класса С3. Б. В. Боярским и
Н. В. Ефимовым [7] доказан принцип максимума для склеенной выпуклой поверхности и на его основе получено новое доказательство теоремы о жесткости склеенного овалоида с понижением требований гладкости до С2. Б. В. Боярским [5], с использованием интегральной формулы из [6] доказана жесткость замкнутой кусочно выпуклой (но не выпуклой в целом) поверхности, склеенной из конечного числа кусков выпуклых поверхностей класса С3 при условии ее звездности и малости имеющихся на ней “прогибов”. Л. Г. Михайловым и 3. Д. Усмановым [27, 28] исследованы бесконечно малые изгибания поверхностей вращения с коническими точками при некоторых краевых условиях. Ряд признаков жесткости кусочно выпуклых поверхностей, склеенных из конечного числа кусков поверхностей класса С3, получен в работах П. Е. Маркова и В. Т. Фоменко [15, 32, 34, 35].
В работах [5, б, 7, 15, 34, 35] не исключалось наличие на рассматриваемых поверхностях вершин (точек пересечения нескольких линий склеивания). В работе [6] допускалось также наличие конических точек при условии, что в окрестности каждой конической точки поверх-

Глава 2. §2. Поле вращений вблизи особых точек.
получим равенство (2.2.1). Ясно, что вектор-функция Л непрерывна на [О, Б] х [0, Со)* Покажем, что Л(ж,0) = 0. Из (2.2.11) следует, что и(х, 0) +ух(х,0) - /3-ш(х,0) = 0. Из первого уравнения системы (2.2.6)
Поделив на у, перейдя к пределу при у —» 0, учитывая, что }гУ{х, 0) = 7]у(х,0) = 0, получим 0) — /ЗС;,(г:,0) = 0. Отсюда и из (2.2.11) следует,что/Зу(х,0)+гуа!(а:, 0) = 0. Следовательно, Л(ж, 0) = 0. Из (2.2.10) для функции р(х, у) на множестве [0, Ь] х (0, е0) находим
Отсюда и из (2.2.4) вытекает, что р(т,0) = 1ипр(х,г/) = 0. Лемма

доказана.
2.2. Одно интегральное свойство поля вращений в
Сохраняя обозначения предыдущего пункта, для произвольного є Є (0, Єо) обозначим через 1С линию пересечения касательного конуса 8 к поверхности 5 в точке М0 со сферой радиуса є с центром в точке М0, через 1С — ее прообраз на поверхности 5 при ортогональном проектировании на 8. Будем считать, что при движении нормали к поверхности вдоль 1е точка М0 находится справа. Кривая 1е в рассматриваемых координатах х, у задается уравнением у = £, 0 ^ х ^ £. Будем обозначать через г разбиение отрезка [0, Ц на п частей точками То = 0 < Х < • • • < хп = Ь. Положим
А л л КЖг,£)Джг- / л
/хі = Хі — Ж;_ь V — шах Джг-, =------------------- , рі = р(хЛ,

і = 1,... , п.
имеем
/®(Сг + РО
окрестности конической точки.