Матричные операторы Шредингера с тривиальной монодромией

• Автор: Гончаренко, Василий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
1 Матричное уравнение Шредингера и преобразование Дарбу.
1.1 Матричное преобразование Дарбу и сплетающее соотношение
1.2 Квазидетерминанты и структура матричного преобразования Дарбу
1.3 Операторы Шредингера, связанные матричными МДП.

1.4 Случаи Ь(] = — Операторы Шредингера с рациональными потенциалами
2 Матричный оператор Шредингера с тривиальной мо-нодромией в комплексной области.
2.1 Регулярные и нерегулярные особые точки дифференциальных уравнений
2.2 Локальный критерий тривиальной монодромии
2.3 Доказательство локального критерия
2.3.1 Резонансные уравнения
2.3.2 Числа ПДт, п,1)
2.3.3 Усеченные полиномы и доказательство того, что С_1 =
2.3.4 Завершение доказательства
2.4 Формулировка локального критерия в инвариантной форме
2.5 Матричные преобразования Дарбу и операторы Шредингера с тривиальной монодромией
2.6 Уравнения локуса и матричная система Калоджеро-Мозера
2.7 Матричные операторы Шредингера с тригонометрическими потенциалами
3 Многомерные интегрируемые операторы Шредингера с матричным потенциалом.
3.1 Скалярный случай
3.2 Тривиальная монодромия в многомерном случае

3.3 Об особенностях Б-интегрируемого матричного оператора Шредингера
3.4 Уравнения матричного локуса и
Б-интегрируемость
3.5 Двумерный случай
3.6 Матричные обобщенные операторы
Калоджеро-Мозера
4 Многосолитонные решения матричного уравнения КдФ. Взаимодействие солитонов.
4.1 Уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко
для матричного оператора Шредингера
4.2 Матричное уравнение КдФ и безотражательные потенциалы
4.3 Односолитонные решения матричного уравнения КдФ.
4.4 Двухсолитонное решение матричного уравнения КдФ.
Взаимодействие солитонов в общем случае
4.5 Матричное преобразование Дарбу и солитоны

Введение.
В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура [65] обнаружили замечательную связь между уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ)
Щ б иих XI хххч (6-1)
описывающим распространение волн в мелкой воде, и спектральной теорией оператора Шредингера
ь = -г>2 + фд), £> = ^, (0.2)
что позволило решить уравнение КдФ методом обратной задачи (см., например, [17, 38]) в классе быстроубывающих потенциалов. Алгебраическое объяснение метода работы [65] было предложено Лаксом [71] в 1968 году. Он показал, что уравнение КдФ может быть записано в виде
1 = [Ь,А),(0.3)
где А = -41)3 + 3(иБ + Ии) - кососимметричный дифференциальный оператор третьего порядка.
С тех пор уравнение КдФ и его высшие аналоги (см. [71], [76])
Г = [Ь, Ап],
где Ап - некоторый дифференциальный оператор 2п + Кого порядка, были исследованы с различных точек зрения. Вероятно, одним из самых замечательных результатов было наблюдение Новикова [41] и Лакса [72] о том, что все периодические решения стационарной иерархии КдФ являются потенциалами операторов Шредингера с конечным числом лакун в их спектре (см. также статью МакКина и ван Мербике [75]). Дубровин [22] и Флашка [64] доказали, что таким образом могут быть получены все конечнозонные операторы Шредингера. Здесь хотелось бы упомянуть, что первые примеры конечнозонных потенциалов были найдены Айнсом [69], показавшим, что операторы Шредингера с потенциалами Ламе
и(х) = N(N + 1)р(х),

Используя 8(т,п) — (т — п)(т + п — 1), можно легко получить, что г-е слагаемое в формуле (2.22) может быть записано в виде (далее х = п — 1/2)
(—1)*-г2 2ккСЦх + г + 1){х + г + 2)...(х + к)-• (х -Р I -Р к -Р 2) ... (х -|- / к. 4- /) (ж -р / -Р к -Р т ~Ь1)

шк(п + 1 + 2(к + 1),щ1) = 22кк{-1)к[{х + 1)(х + 2)... (х + к)-
~Ск(х + 2).;. (ж -Р А:) (ж + к +1 + 2)-Р +С). (ж -р 3)... (х -р к) (ж + к + 1 + 2)(х + к + 1 + 3) + ... +(-1)*~1С'^~1(ж + &)(ж + к + 1 + 2) (ж + к + 1 + 3)...(х + к + 1 + к) + +(—1)^(ж + /г + / + 2)...(х-|-&-рІ + & + 1)].
Обозначим Є(к,1) выражение в квадратных скобках. Мы хотим показать, что (?(&,/) = (-1 )к(1 + 2)(/ + 3)... (/ + к + 1). Так как Є(к,1) - полином степени к по переменной /, то достаточно доказать, что Є(к, 1) = (-1)4*! и в(к, -2) = в(к, -3) = ... = Доказательство. Действительно,
+С2{х + 3)... (ж + Д)(ж + к + 1)(ж + к -р 2) +
-РН)*-1^"1^ + к){х + к + 1)(ж + к + 2)... (ж + 2к - 1)+
+(—1)*(ж + к + 1)... (ж -р 2к).
Введем оператор сдвига1 Т: для любого полинома /(ж) (Т/)(ж) = /(ж + 1). Тогда 1 — Т понижает степень /(ж) и

(1 - ТГ = ХДрСРГ1. (2.23)

Если Рк(х) — хк + ... - некоторый полином степени к, то, очевидно, (1 - Т)к(Рк(х)) = (-1)4! и (1 - Т)1(Рк(х)) = 0 при I > к. Используя (2.23), мы получаем
в(к, -1) = (1 - Т)к[(х + 1)(ж + 2)... (ж + к)] = (-1)4|.
Лемма доказана.
1Идея использовать оператор Т была предложена А. П. Веселовым.