Двойные частные групп Ли положительной секционной кривизны

• Автор: Базайкин, Ярослав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 60 с.

Содержание
0 Введение
1 Неоднородные 13-мерные пространства положительной секционной кривизны
1.1 Построение пространств Мр
1.2 Кривизна пространств Мр
1.3 Топология пространств Мр
2 Двойные частные групп Ли с интегрируемым геодезическим потоком
2.1 Метод Тимма
2.2 Основная лемма о градиентах инвариантных полиномов
2.3 Определение и свойства ранга цепочки вложенных
подалгебр Ли
2.4 Основная теорема о числе независимых интегралов
2.5 Приложения к некоторым неоднородным пространствам положительной секционной кривизны
3 Многообразие положительной секционной кривизны
с фундаментальной группой ® Zз
А Функциональная независимость базиса инвариантных полиномов в регулярных точках
О Введение
Одной из важных задач римановой геометрии является исследование геометрических и топологических свойств римановых пространств положительной секционной кривизны. Естественным образом, топологический аспект проблемы распадается на два направления: изучение топологических свойств односвязных пространств положительной секционной кривизны, и изучение свойств фундаментальных групп таких пространств. Дадим, сначала, краткий обзор и опишем результаты предлагаемой диссертации в первом направлении.
Известно очень мало примеров односвязных римановых многообразий положительной секционной кривизны, а именно:
1) классическими примерами являются компактные ранга 1 симметрические пространства, т. е. сферы 5П, комплексные проективные пространства СРп, кватернионные проективные пространства НР” и проективная плоскость Кэли СаР2. Отметим, что перечисленные примеры исчерпывают известные топологические типы пространств положительной секционной кривизны в размерностях > 24;
2) все классические пространства положительной секционной кривизны являются нормально однородными, что навело на мысль провести исследование в классе таких пространств; это исследование было предпринято Берже [1], который взялся описать все нормально однородные пространства положительной секционной кривизны и обнаружил два новых ’’исключительных пространства” вида Зр(2)/5?7(2) и 5£/(5)/ Зр(2) х 51 размерности 7 и 13, соответственно (причем вложение 5Н(2) С Эр(2) не является стандартным). Однако, в работе Берже была допущена неточность, в силу которой им было выпущено еще одно нормально однородное пространство положительной секционной кривизны в размерности 7 вида 50(3) х 5П(3)/£/(2) (это пространство диффеоморф-но пространству Алоффа-Уоллаха Лф 1, см. ниже). Ошибка была найдена и исправлена недавно, в работе Вилкинга [2]. При этом Вилкинг нашел на 1Г1Д 1-параметрическое семейство нормально однородных метрик положительной секционной кривизны — это единственный пример с таким свойством;
3) Уоллах показал, что все четномерные однородные односвязные замкнутые многообразия с метриками положительной кривизны исчерпываются нормально однородными многообразиями и многообразиями флагов над СР2, НР2 и СаР2 (их размерности

равны 6, 12 и 24, соответственно) [3];
4) Алофф и Уоллах [4] указали бесконечную серию пространств ЛГрл вида 5Е/(3)/51, где подгруппа 51 является обмоткой максимального тора группы 5С/(3) и тем самым определяется двумя взаимно простыми целочисленными параметрами р и д. При выполнении некоторых условий на р и б/ на этих пространствах существует левоинвариантная однородная риманова метрика положительной кривизны. Берард Бержери [5] показал, что пространства Алоффа — Уоллаха исчерпывают все нечетномерные замкнутые односвязные многообразия с однородными (но не нормально однородными) римановыми метриками положительной кривизны, а Крек и Штольц обнаружили среди них пару гомеоморфных, но не диффеоморфных многообразий (А_56788,5227 И У_42652,6121з) [6];
5) используя конструкцию Алоффа и Уоллаха, Эшенбург нашел бесконечную серию семимерных пространств с неоднородными метриками положительной кривизны [7], а в дальнейшем построил и шестимерный пример неоднородного пространства с метрикой положительной кривизны [8].
Этот список исчерпывает известные к настоящему времени топологические типы односвязных замкнутых многообразий, допускающих метрики положительной секционной кривизны. Заметим, что размерность 13 среди указанных имеют только два многообразия — сфера 513 и нормально однородное пространство Берже 5Я(5)/ вр(2) х 51.
При построении своих пространств Эшенбург использовал понятие двойного частного группы Ли — естественного обобщения однородного пространства, которое, вкратце, состоит в следующем.
Рассмотрим группу Ли (У и подгруппу Ли ГУ в С х С. Зададим действие 11 на (У:
и Э (51,52): 9 € дд92 1 € О.
Рассмотренное действие может иметь неподвижные точки. Положим V — {(51,92) € идх е Ад(0)д2}. Тогда легко увидеть, что свободность рассмотренного действия, равносильна условию V = {(1,1)}, где 1 6 С — единица группы О.
Если действие свободно и изометрично относительно некоторой римановой метрики на (У, то каноническим образом возникает фактормногообразие (У/СГ, называемое двойным частным группы Ли О (в случае, если ГУ = 1/х К, где Я, К С (У, то двойное частное обозначают Я(У/А). Впервые конструкция двойного частно-

Лемма 14 Отображение момента Ф постоянно на траекториях геодезического потока в ТМ.
В частности, функции вида f о Ф, / є С°°(g*) являются первыми интегралами потока.
Доказательство.
Обозначим через V связность Леви-Чивита на М. Рассмотрим траекторию (q(t),v(t)) геодезического потока в ТМ, то есть q(t) — геодезическая в М и v(t) = q(t). Продолжим v(t) до векторного поля V на М. Пусть X Є g, то есть определено киллингово поле, которые мы тоже обозначаем X. Тогда
|(ф тмтх)) = jtm,xm))qW = v(v,x)m
= (VvV,X)q{t) + (V,XvX)q{t)
для всех t (здесь VyV — 0, так как q(t) — геодезическая, и (V, VyX) = 0, поскольку X — киллингово).
Лемма 14 доказана.
Обозначим через JF(g*) — пространство полиномиальных функций на g*. Оно наделяется скобками Пуассона { , }g. = { , } следующим образом.
Пусть iÉg*. Рассмотрим орбиту коприсоединенного представления О = Ad{G)x. Тогда очевидно, что ТхО = {ad{Y)xY є g}. На О можно завести симплектическую структуру. Рассмотрим y,z Є ТхО. Тогда найдутся Y, Z є g такие, что у = ad{y)x и z = ad(Z)x. Положим ш(у, z) = x([Y, Z]). Возникшие скобки Пуассона { , }о называют скобками Ли-Пуассона.
Пусть, теперь, /,g гладкие функции на g*. В прежних обозначениях, положим
{/,з}(я) = Uo,go}o{x).
Скобки Пуассона { , } в g* можно описать и по иному. Пусть Єї, Є2
{/$}(*)
Пусть Т(ТМ) — пространство гладких функций на ТМ, обладающее скобкой Пуассона { , }тм, возникшими из симплектиче-ской структуры на ТМ. Следующая лемма доказана в [15].