Дифференциальная геометрия бесконечномерных многообразий над алгебрами

• Автор: Игудесман, Константин Борисович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 66 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Пространства над алгеброй функций на компактном многообразии
1.1. -линейные отображения пространств сечений векторных расслоений
1.2. Голоморфные отображения пространств сечений векторных расслоений
1.3. Гладкие многообразия над алгеброй Фреше
1.4. Многообразие сечений расслоенного пространства
ГЛАВА 2. Слоения на многообразиях над алгебрами
2.1. Группа голономии листа слоения
2.2. Слоение на пространстве поточечно конформных структур
2.3. Слоение на многообразии сечений расслоенного пространства
ГЛАВА 3. Многообразия над алгеброй алгеброзначных функций
3.1. Голоморфные дифференциальные уравнения
3.2. Гиперсфера в дуальном пространстве
3.3. Пространство гладких отображений из 3” в §п(е)
БИБЛИОГРАФИЯ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Тема настоящей работы находится на стыке двух актуальных направлений современной геометрии. Первое — теория гладких многообразий, моделированных на пространствах Фреше (см. например, [49], [55]). В работах по этой теме приведены определения, примеры, рассмотрены дифференциальнотопологические свойства многообразий Фреше. Вместе с тем во многих примерах на исследуемых многообразиях существует дополнительная структура многообразия над алгеброй. Поэтому второе направление — теория пространств над алгебрами. Эта тематика очень глубоко и подробно исследуется геометрами Казанского государственного университета (см. например, [6], [38]). Но до сих пор эти исследования ограничивались лишь случаем пространств конечной размерности, хотя большинство определений и результатов допускают обобщение на бесконечномерный случай.
Поэтому, как нам кажется, представляют интерес любые дифференциально-геометрические объекты на бесконечномерных многообразиях, учитывающие структуру многообразия над алгеброй.
Цель диссертационной работы состоит в обобщении на многообразия Фреше методов теории конечномерных многообразий над алгебрами и применение этих методов к конкретным примерам.
Новизна результатов. Все полученные результаты для бесконечномерных многообразий над алгебрами являются новыми. Выделим основные из них:
1. Для многообразий над алгебрами Фреше доказаны следующие
утверждения:
(a) Лемма Пуанкаре. Пусть Т — алгебра Фреше, II — -модуль Фреше, тогда локально всякая голоморфная замкнутая форма на Н точна.
(b) -билинейная связность на -одномерном многообразии над алгеброй Фреше Т реализуется локально плоской связностью тогда и только тогда, когда она голоморфна.
(c) Если М — компактное многообразие, а 7г : В -Л М — расслоение класса С°°, то пространство С°°(тг) гладких сечений

расслоения 7Г есть многообразие над алгеброй Фреше Т гладких функций на М.
(б) Доказаны теоремы об изоморфизмах дифференциальногеометрических объектов на С°°(тт) соответствующим объектам на расслоении д.
2. Рассмотрены два примера канонических слоений на многообразиях над алгеброй Фреше Т гладких функций на компактном многообразии. Первый пример — слоение на С00(л), второй — слоение на пространстве поточечно конформных структур. Показано, что в обоих случаях рассматриваемые канонические слоения являются простыми.
3. Для многообразий над банаховыми алгебрами доказаны следующие теоремы:
(a) Теорема существования и единственности решения для голоморфного обыкновенного дифференциального уравнения.
(b) Теорема о прообразе регулярного значения голоморфного отображения банаховых Д-модулей, где Д — банахова алгебра.
4. Для многообразий над алгеброй Та — Д-значных функций на компактном многообразии доказаны следующие утверждения:
(a) Если У — многообразие над банаховой алгеброй Д и на нём существует Д-голоморфная пульверизация, то пространство С°° (М. У) является многообразием над алгеброй Фреше Та-
(b) Рассмотренное каноническое слоение на пространстве С°°(Зп,Т8п) изоморфно касательному расслоению к многообразию Фреше С00 (8”, §").
Методы исследования. Введение структуры многообразия над алгеброй на пространстве гладких сечений расслоения опирается на методы, приведённые в [21], [46] для вещественных банаховых многообразий.

□ Определение изоморфизма корректно, так как Xi(m) £ VTc(m)B. Обозначим через тг' : фrVTB —> М, а : М х М. —> М расслоения. Из конструкции многообразия на С°°(л) следует, что любой элемент из множества фгТС°°(л) есть ни что иное, как гладкое сечение расслоения л', Т.е. <7°°(7Г/) = фгТС°°(7г).
Пусть Ё' С С00 (л') — точечно-связное множество, тогда множество Ё С С°°('л), полученное ограничением всякого сечения расслоения л' на первый аргумент, т.е. любой элемент 7 Е V имеет вид 7 = лдоу', где 7' £ Ё', а 7Гд : фгУТД —> В, тоже будет точечно связной компонентой.
Теорема 6 устанавливает взаимно однозначное соответствие Fun между множеством всех морфизмов ИЗ V' В Т (обозначим его Могут) и множеством гм-морфизмов из фrVTV в М х 1 (обозначим его Mor(id,M)) Теперь, из определения голоморфных тензорных полей на многообразии над алгеброй мы можем сделать вывод, что голоморфная r-форма на многообразии С°° (л) есть морфизм многообразия С°°(тт') в алгебру Т. представление которого в локальных координатах полилинейно и кососимметрично по последним г аргументам.
Так как Л$г(Ё) С Могуг, а Л£(У) С Мог{гйм), то легко видеть, что ограничение Fun на ЛЁ)
Fun : ЛНЁ) -7 Л;(У)
биективное отображение. Непосредственно из определений следует изоморфизм соответствующих алгебр. □
Изоморфизм Fun определяет изоморфизм комплексов форм, так как имеет место соотношение
d о Fun = Fun о d ,
где d и d — дифференциалы комплексов Л*, (У) и Лу(Ё) соответственно. Доказательство следует из определения дифференциала и формулы 1.6.
Пусть д — положительно определённый метрический тензор на тотальном пространстве В расслоения л. Определим на С00(л) симметричный -значный тензор д валентности (0, 2) следующим образом: для любых £ 6 С00(л), Х,Х2 € ТС00), m £ М
(дХъХ2)){т) = gm)(Xi(m),X2{m)) . (1.14)