Задачи устойчивости и подобия для некоторых классов несамосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром

• Автор: Киселев, Александр Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 102 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Несамосопряженные операторы с абсолютно непрерывным спектром: условия ограниченности спектральных проекторов
1.1. Постановка задачи
1.2. Функциональная модель для несамосопряженного оператора
1.3. Задача подобия и достаточные условия ограниченности спектральных проекторов
1.4. Приложения к оператору одномерной несамосопряженной модели Фридрихса
Глава 2. Функциональная модель для несамосопряженных расширений симметричных операторов и задача подобия
2.1. Постановка задачи
2.2. Функциональная модель для несамосопряженных расширений симметричных операторов
2.3. Задача подобия и ограниченность спектральных проекторов для несамосопряженных расширений симметричных операторов, обладающих лишь абсолютно непрерывным спектром
2.4. Задача подобия для несамосопряженных расширений оператора Лапласа
Глава 3. Функционально ограниченные полугруппы с несамосопряженными генераторами
3.1. Предварительные сведения
3.2. Взаимосвязь условия полиномиальной ограниченности группы и резольвентных оценок для ее генератора
3.3. О связи между функциональной ограниченностью Со~ группы и поведением резольвенты ее генератора в случае абсолютной непрерывности его спектра
3.4. Приложения к оператору одномерной несамосопряженной модели Фридрихса
Литература

Введение
Исследование устойчивости по Ляпунову уравнения Шредингера
г сИ к ’
с несамосопряженным оператором Ь приводит нас к эквивалентной задаче о равномерной по £ ограниченности операторной экспоненты ехр (гЫ) [38] и, таким образом, к задаче о подобии оператора самосопряженному. В том случае, когда оператор Ь подобен самосопряженному, для него выполняется аналог спектральной теоремы, справедливой для самосопряженных операторов, с ограниченными (вообще говоря, неортогональными) спектральными проекторами. Также в указанном случае мы имеем возможность строить функциональное исчисление для оператора Ь и решать исходное нестационарное уравнение, используя операторную экспоненту. В наиболее простой форме данное функциональное исчисление может быть построено в случае, когда исследуемый оператор имеет лишь абсолютно непрерывный спектр [24, 25, 26].
Тем самым, актуальным является вопрос о нахождении условий, при которых спектральные проекторы оператора Ь. соответствующие произвольным борелевским подмножествам его спектра, являются ограниченными, и, в общем случае, вопрос о подобии оператора Ь самосопряженному (для чего необходима и достаточна совокупная ограниченность всех его спектральных проекторов). Такие условия известны в терминах резольвенты оператора [38, 28, 45], а также в терминах характеристической функции оператора [26, 38, 27]. С точки зрения математической физики, наибольший интерес вызывают критерии подобия и достаточные условия ограниченности спектральных проекторов для конкретных операторов, например, для операторов модели Фридрихса, представляющих собой возмущения операторов умножения на независимую переменную и возникающих при записи оператора Шредингера в импульсном представлении, или дифференциальных операторов, как, например, оператора Лапласа в!3 с потенциалом, представляющим собой конечную линейную комбинацию дельта-функций.
Настоящая работа посвящена исследованию вопросов устойчивости, формулированию критериев подобия операторов самосопряженным и

ІІ+ІІ2-ІІ-+г'+ІІ2
= і ||А+(Л’+5Л+)“1А'+а(П“II — к — гО)_1к||2

- IIЛ’_5А+(А’+5А+)-1А’+а(П-ІІ - * - ІО)"1«!!3

Обозначая
/ = (Л’+5+)-1А’+а(і-И - к - гО)“Ч
/27Г
имеем:
||ЛГ+н+||2 - ||ЛГ_5ДГ+і>+||2
= ((*+-*+5*лл5л)/,/)
= ((Х+ - А+5*5Л+) /, /) + ((*+5*Д-+5А+) /, /)
= (ДГ+ (/ - 5*5) А+/, /) + ||Л’+5Д’+Л|2
= -і- ((Д’+5*Д’+)_1(/ - 5*5)(*+5*+)-1Л’+а!(і-11 - А - *0)_1и ,

А+аІГ11 - к - гО)_1и) + 2- ЦДГ+ОІГ11 - к - гО)_1м||2
Учитывая, что (см. [26])
Jсік \Х+а{Ь' - к - г0)_1г*||2 < С||и||2,
получаем, что первая из оценок (1.3.3) может быть переписана в следующей эквивалентной форме:
У сік ((*+5* А:+)-г{1 - 5*5)(А+5А+)-1А+а(ф-11 — к- гО)-1 ,

Х+а - к - г’0)“1«) < С||и||2
Получим эквивалентную оценку такого же вида для оценки, полученной предельным переходом из нижней полуплоскости (третья из оценок
(1.3.3)). Легко видеть, что она будет отличаться от вышеприведенной лишь следующим: Х+ заменится на Х-, 5 — на 5*, а (Ь~ — к — гО)“1 — на (Л — к + гО)-1. Следовательно, рассматриваемая оценка может быть переписана в следующем эквивалентном виде:
У с1к ((А’_5А_)_1(/ - 55*)(А_5*Л_)-1А'_а(511 - к + іО'и ,

Х-а@ -к + І0)“1и) < СЦиЦ2
Проведем теперь соответствующие выкладки и для оставшихся оценок
(1.3.3). Именно, переписывая вторую и четвертую оценки (1.3.3) таким