Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений и некоторые их приложения

• Автор: Абрегов, Мухад Хасанбиевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 96 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
ШТУ РМ А-ЛИУВИЛ ЛЯ
§ 1. Теорема сравнения
§ 2. Первая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля
с неклассическими краевыми условиями
§ 3. Первая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля
с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского
§ 4. Третья краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля
с неклассическими краевыми условиями
§ 5. Третья краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля
с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского
§ 6. Вторая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля
с неклассическими краевыми условиями
§ 7. Вторая краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля
с нелокальными условиями типа Бицадзе-Самарского
ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУБИЛЛЯ
§ 1. Разностная схема для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальным условием м( 1) = (3и(х)ск

§ 2. Разностная схема для оператора Штурма-Лиувилля

с нелокальным условием-к()и'(і) - %2и0)=0111

§ 3. Решение плохо обусловленной задачи Коши методом редукции
к нелокальной задаче
ГЛАВА 3. НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПА-
РАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
для уравнения третьего порядка
§ 2. Третья краевая задача с нелокальным условием типа Бицадзе-
Самарского для уравнения третьего порядка
§ 3. Разностные схемы для нелокальных задач
типа Бицадзе-Самарского
§ 4. Определение контактной температуры при правке абразивных
кругов алмазным инструментом
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи механики сплошных сред, в частности фильтрации жидкости в пористых средах, влагопереноса в почвогрунтах приводят к нелокальным (неклассическим) задачам для дифференциальных уравнений математической физики [1], [2].
Нелокальные задачи возникают при математическом моделировании технологического процесса очистки кремниевых плит от примеси [3]. Нелокальные условия возникают также при описании процесса диффузии частиц в турбулентной плазме [4]. К первым работам по нелокальным задачам относятся работы Камынина Л.И. [5]-[6]. Различные типы нелокальных задач изучались в работах Ионкина Н.Щ7], Самарского A.A. [8], Ионкина Н.И., Моисеева Е.И. [9], Шополова H.H. [10], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [11]-[12], Нахушева А.М. [13], Шханукова М.Х. [22]-[25], Ионкина H.H. [14]-[15] и многих других.
Приведем пример нелокальной задачи из теории влагопереноса в почвогрунтах. Почвенная влага движется под действием объемных сил, поверхностные и граничные эффекты здесь не играют роли [1]. Поэтому движение влаги в почве под действием силы тяжести и капиллярного давления описывается диффузионной моделью dW д
dt дх
D(W)~

(0.1)
где Л'-влажность в долях единицы, х-глубина, /-время, 0(ЦГ)-коэффициент диффузивности. Диффузионная модель предполагает, что если в начальный момент задано неравномерное распределение влажности, то должен возникнуть поток влаги из более влажных в менее влажные слои. Однако, прямые, достаточно убедительные опыты показывают, что имеет место и обратный поток влаги от слоев с малым содержанием влаги к слоям с большим содержанием влаги [16],[18]. Эти факты входят в противоречие с

где Х > 0, %2 > 0. па отрезке [0,1] будет отрицательной, строго возрастающей функцией. При этом гшеет место неравенство

< д(х) < 0, 0<х<1. (1.84)
Х+к()
Доказательство. В задаче (1.82)—(1.83) перейдем к новой независимой переменной по формуле х = 1- /. Тогда приходим к задаче
(('(0)'-Ш(0 = о Хч0-) = 1, к{0)Д'(0)-22(°) = °>
где обозначено £(/) = £( 1-/)> £(0 = й0-0> <7(0 = <7(1~0- Поскольку 0<сх<к{])<с2, (О-О* то функция
Х] + к( 0)

<д(/)<0, 0 и так как 0, &(0)=&(1), то приходим к утверждению
леммы 1.4.
Перейдем к доказательству теоремы 1.5.
Решение задачи (1.69)—(1.71) будем искать в виде и(х) = р(х)+£ 0и-ц(х)+£1и-г(х), (1.85)
где г(х) и д(х) - решения задач (1.74)—(1.75) и (1.82)—(1.83) соответственно, а р(х)~ решение задачи
Ьр — (к(х)р')'-g(x)p = ~/(х), 0 < х < 1, (1.86)
и Р = к(0)р'(0)- Х1Р(0) = 0,
(,р=тР'(1)-12РЮ=о. <1,87>
Подставляя представление (1.85) в условия (1.70) и (1.71), приходим к линейной алгебраической системе относительно неизвестных £0и и £хи