Асимптотическое описание локализованных спектральных зон одномерных периодических задач

• Автор: Миронов, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Часть А. Дифференциальный оператор Шрёдингера
п.1. Один атом
п.2. Периодическая цепочка идентичных атомов
п.З. Построение функций <рт(х) и вт(х)
п.4. Основное алгебраическое уравнение
п.5. Асимптотики функций а(х) и 'у(х)
п.6. Асимптотики функций 6' и Я
п.7. Доказательство существования спектральной зоны
п.8. Асимптотическая формула зоны
п.9. Примеры конкретных потенциалов
Часть В. Дискретный оператор Шрёдингера
п.1. Один атом
п.2. Периодическая цепочка идентичных атомов
п.З. Построение функций 1/5дг(п) И вм(п)
п.4. Основное алгебраическое уравнение
п.5. Асимптотики функций а(п) и у(п)
п.6. Асимптотики функций О и Я
п.7. Доказательство существования спектральной зоны
п.8. Асимптотическая формула зоны
Часть С. Дифференциальный оператор Шрёдингера с комплекснозначным потенциалом
п.1. Один атом
п.2. Периодическая цепочка идентичных атомов
п.З. Построение функций <рт(ж) и вт(х)
п.4. Основное уравнение
п.5. Вспомогательные оценки в случае одномерного инвариантного подпространства
п.6. Существование и асимптотическое поведение спектральной компоненты
в случае одномерного инвариантного подпространства
п. 7. Вспомогательные оценки в случае двумерного инвариантного подпространства
п.8. Существование и асимптотическое поведение спектральных компонент
в случае двумерного инвариантного подпространства
п.9. Примеры
Список литературы
Приложение
Приложение
Приложение
Введение
В работе рассматриваются одномерные дифференциальный и дискретный операторы Шредингера с периодическим потенциалом, который строится как сумма сдвигов заданного одноатомного потенциала ц. При этом необходимо, чтобы этот одноатомный потенциал задавался абсолютно-суммируемой фукцией, то есть д 6 или 5 € ДЯ). Тогда одноатомная
задача может иметь дискретный спектр вне непрерывного [1]. Как известно, спектр периодической цепочки идентичных атомов обладает зонной структурой, то есть состоит из зон [2, 3, 4](в общем случае, спектральных компонент [5, 6, 7]). При изучении тех зон спектра периодической задачи, которые порождены собственными значениями одноатомной задачи, часто используют метод приближения сильной связи [8, 9]. В этом методе блоховская функция аппроксимируется линейной комбинацией атомных орбиталей и с помощью этой блоховской функции вычисляется соответствующая энергетическая зона. Однако, метод приближения сильной связи дает удовлетворительные результаты лишь для быстро убывающих потенциалов и для сильно локализованных атомных состояний. Основным недостатком этого метода является затруднительность проверки его сходимости. С другой стороны, если состояния не достаточно хорошо локализованы, то вычисления энергетической зоны становится затруднительным из-за необходимости учета трех-центровых интегралов. Как правило, при аппроксимации этими интегралами пренебрегают (двух-центровая аппроксимация).
Целью данной работы является получение асимптотических формул для энергетических зон, ассоциированных с дискретным спектром одноатомной задачи, когда период цепочки неограниченно возрастает. Работа естественным образом делится на 3 части: случаи дифференциального, дискретного и диссипативного дифференциального операторов Шредингера. В постановке подобной первому случаю, но при более сильных условиях на §, задача рассматривалась ранее несколькими авторами [10, 11, 12]. Было доказано существование энергетической зоны и получена асимптотика ширины этой зоны, совпадающая с формулой двухцентровой аппроксимации в методе приближения сильной связи. Таким образом, были указаны условия, при которых достаточно учитывать лишь двух-центровые слагаемые. При этих условиях ширина рассматриваемой зоны с ростом периода убывает экспоненциально. Однако, известно, что для медленно убывающих потенциалов в формуле ширины зоны может возникнуть некоторый, даже растущий, предэкспоненциальный множитель [13, 14]. В первой части устанавливаются условия на потенциал при которых этот факт проявляется.

Наработанная схема позволила рассмотреть подобные эффекты в случаях дискретного и диссипативного дифференциального операторов Шре-дингера. При этом общая схема рассмотрения привела, однако, в различных случаях к различным по своему виду и физическому смыслу результатам. Принципиальным отличием дискретного случая явилось существование как отрицательного, так и положительного дискретного спектра. А в случае комплексно-значного потенциала задача становится несамосопряженной и, следовательно, дискретный спектр одноатомной задачи выходит в комплексную плоскость. Известно, что в самосопряженной задаче спектральные компоненты могут соприкасаться лишь своими концами, а в несамосопряженной - спектральные компоненты могут иметь общие внутренние точки [15]. Более того, в несамосопряженном случае возможно возникновение нетривиальных корневых подпространств, что приводит к расщеплению спектральной компоненты, ассоциированной с соответствующем собственным значением. В данной диссертации приводятся подробные исследования этих эффектов.
Первая часть диссертации посвящена случаю дифференциального оператора Шредингера с вещественным потенциалом §. В п.1 рассматривается одноатомная задача и выписывается асимптотика решений этой задачи. Соответствующая периодическая задача рассматривается в п.2 и там же приводятся уравнения, описывающие зонную структуру спектра в терминах решений периодической задачи. Эти решения строятся в п.З из решений одноатомной задачи методом вариации произвольных постоянных. После этого, в п.4 получается основное уравнение (4.4), которое описывает в удобных для нас терминах зону, соответствующую фиксированному собственному значению одноатомной задачи Ао. В дальнейшем, мы занимаемся решением уравнения (4.4). В пп.5 и 6 приводятся вспомогательные результаты и, наконец, в п.7 доказывается теорема 7.1 о разрешимости уравнения (4.4) вблизи нуля, то есть доказывается существование спектральной зоны, отвечающей А0. Основным результатом части А является теорема 8.1, в которой доказывается асимптотическая формула для смещения зоны относительно Ао и асимптотические формулы для ширины этой зоны. Наконец, в п.9 рассмотрены некоторые примеры, иллюстрирующие полученные результаты и даны дополнительные комментарии.
Вторая часть диссертации посвящена случаю дискретного оператора Шредингера с вещественным потенциалом ц. Общий ход рассуждения в этой части идентичен ходу рассуждения в части А. Поэтому и содержание пунктов, в основном, повторяет часть А. Основным результатом части Б является теорема 8.1.
Третья часть диссертации посвящена случаю дифференциального оператора Шредингера с комплекно-значным потенциалом q. В пп.1 и 2 рас-

5 Асимптотики функций а{п) и 7(72)
Вместе с функцией р(И), определенной формулой (1.6), нам понадобится монотонно убывающая по N функция
(5.1) г(Л0 = вир V |»(п, 01Г2Н + Г2М, N>0.
t>N ".
- ге€Г(4)
Заметим, что функцию р(Лг) можно записать в виде:
РМ= У Ук(п + 2)|+Г2ЛГ,>0.
пеГ(ДГ)
Следовательно, для всех N > О
Р(1У) > у Ь(п,л01 + Г2">КА>-
пеГ(Л')
Используя эти две функции, мы получим требуемые оценки.
Далее, поскольку мы исследуем спектр <т((2) в окрестности точки Ао , то, как следует из теории возмущений, естественно предположить, что
(5.2) |к| < САМ)
для некоторого произвольного фиксированного положительного числа Сл.
Предположение (5.2) выделяет на вещественной оси промежуток 1 = /(/V) = [—С7кг(Л), Скг(А)] С К-, на котором будет рассматриваться уравнение к = /(к).
Лемма 5.3. Для произвольного числа Ск > 0 существует положительное число N0 такое, что для любого N > N0 и любого к £ /(IV) уравнение (3.6) разрешимо в С(21) единственным образом и для решения 7(п) на интервале п £ П(АГ) справедливы оценки:
17(01 < с,р(юеы и дк1(п) < сун,
где С-/ и С' - некоторые постоянные. Можно положить
С7 = (1 + СК)(С„ + Се)2К1 - Г2) и с; = 2(С„ + Св)2/(1 - Г2)-
Доказательство. Исследуем уравнение (3.6). Решение 7 этого уравнения асимптотически для больших п ведет себя как £~21п1. Введем новую функцию г
(5.4) г(п) = 7(п)£-2, п € Z