Краевые задачи для нагруженных уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами и разностные методы их решения

• Автор: Керефова, Ира Хазизовна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 82 с.

Содержание

Введение
Глава I. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с
разрывными коэффициентами
§ 1. Краевая задача для уравнения теплопроводности с постоянным разрывным коэффициентом теплопроводности. Теорема существования и единственности
§ 2. Краевая задача для параболического уравнения с переменным разрывным коэффициентом диффузии
§ 3. Априорные оценки для параболического уравнения
общего вида с разрывными коэффициентами
§ 4. Метод Роте. Априорная оценка. Сходимость метода Роте
Глава II. Краевые задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами
§ 1. Теорема существования и единственности решения для нагруженного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами
§ 2. Априорные оценки для решения нагруженного уравнения теплопроводности
§ 3. Краевая задача для параболического уравнения с дробной производной в младшем члене
Глава III. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
с разрывными коэффициентами
§ 1. Первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Теорема существования и единственности
§ 2. Построение разностных схем второго порядка аппроксимации для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
§ 3. Случай третьей краевой задачи. Построение разностных схем повышенного порядка аппроксимации
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи математической физики, возникающие при моделировании процессов нагрева, плавления и поверхностного испарения от воздействия потоков энергии на материалы, приводят к необходимости решения краевых задач для уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами. В связи с этим возникает проблема постановки корректных краевых задач для уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами, а также разработки численно-аналитических методов их решения.
В большинстве работ [1-10], посвященных изучению тепловых процессов в системе «основа-покрытие», используется одномерная теплофизическая модель нагрева двухслойной системы нестационарным тепловым потоком.
Модельным уравнением такого класса задач является уравнение Эм,- Э2м
аа?-‘=1'2 (01>
Разрыв коэффициента температуропроводности к(х,О имеет место и в случае, когда область рассмотрения является неоднородной и состоит из нескольких частей с разными свойствами.
При постановке задач помимо начальных и граничных условий необходимо задать условия сопряжения на границе раздела двух сред. Граничные условия сопряжения (их иногда называют граничными условиями IV рода) применяются в случае контакта двух твердых тел. Виды условиий сопряжения рассмотрены в [11,12]. Если между граничными поверхностями 5* тел имеется идеальный тепловой контакт (тела очень тесно прижаты, например в спаях), то их температуры на поверхности контакта должны быть одинаковыми. Кроме того, тепловой поток, выходящий из одного тела через контактную поверхность, должен быть равен тепловому потоку, входящему в другое тело. Таким образом, если м; и и2 - температуры тел, находящихся в условиях плотного теплового контакта, то для некоторой точки М на контактной поверхности условия сопряжения имеют следующий вид:
[ик = «2(5/с + 0) - щ (5/с - 0)
яди =л 2(+°) 2 1(-0)
(0.3)
(0.2)
где индексы 1 и 2 относятся к двум телам, п - общая нормаль к контактной поверхности в точке М, X - коэффициент теплопроводности.
В случае неидеального теплового контакта между двумя телами (контактные поверхности разделены тонкой прослойкой) обычно вводится понятие контактного сопротивления Я (или контактной проводимости 1/К). Равенство тепловых потоков здесь имеет место, но появляется пропорциональная им разность между двумя поверхностными температурами. Соответствующие условия сопряжения имеют вид
В работе [12] исследуются различные виды соединений, включая как плотный контакт, так и случай разделения контактных поверхностей прослойками хорошей и плохой проводимости.
Условия сопряжения могут быть использованы при нахождении приближенного решения уравнения теплопроводности в неоднородной среде
Практически важным является и несколько более простой случай, когда процесс теплопроводности происходит в конечном числе сред, но с разными (постоянными) коэффициентами (т.е. в кусочно-однородной среде), или, иными словами, когда коэффициенты уравнения
=к(5*+о)-«,(-о)],
дп 5 0 Я
(0.4)
г)и. г)и„

(0.5)
[13-16].
(0.6)

Учитывая ограниченность г. и применяя £-неравенство
1 и и 2 и и
(/,У) — 1/ п + £ Е ,£ > 0 получаем, оценивая правую часть по модулю

1к£ -1й£ + кк11о +2к1ГоНк1о+мИкНо+ккк (4Л°)
где М(є) - положительная величина.

211 1|2
Учитывая, что г пл- > 0, из (4.10) имеем:
(1 -М{є))уІ + уг||у,||0 <2-ЦД2 +||у|, (4
М(є)< 1, о = 2с1~Ые.
Суммируя последнее неравенство(4.11) по т от 1 до у, получаем
(1 - л/(е))Ы:+< У||/”|[ т+К(х,о|. (4.12)
»2=1 т-
Априорная оценка (4.12) есть дискретный аналог оценки (3.11).
Обозначим через г. — у, — и, ', І = 1,2 где ы1 = и1{х,1]) - решение задачи (3.1)-(3.3) на слое 2 .. Тогда для погрешности 2І будем иметь задачу

" дх

+ г,гь +дігі+у/і,
г,.(х,0)
= % (*2,0 = 0,

дх{ дх
+ щ +д{щ+£-щ
Если применить оценку (4.12) к задаче для погрешности (4.13), то име-