Конструктивные методы решения краевых задач со свободными границами для нелинейных уравнений параболического типа

• Автор: Догучаева, Светлана Магомедовна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 96 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ЕДЕНИЕ
АВАI. КЛАССИЧЕСКИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ
[. Общая характеристика задач массопереноса и диффузии с реакцией
1. Начально-краевые задачи для поверхностей уровня поля концентраций
>. Качественные эффекты процессов диффузии, сопровождающиеся
адсорбцией и химическими реакциями
I. Стабилизация за конечное время к стационарным, пространственно локализованным решениям
АВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ПЕРЕНОСА И
ДИФФУЗИИ ПАССИВНЫХ ПРИМЕСЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Метод разделения переменных в квазилинейном параболическом уравнении диффузии и переноса
Точные решения задач диффузии и переноса от сосредоточенных, мгновенных и постоянно действующих источников в покоящейся среде
АВА 1П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ
С РЕАКЦИЕЙ
Метод Роте и интегральные уравнения задачи
Задачи со свободными границами в проблеме загрязнения и самоочищения точечным источником
СЛЮЧЕНИЕ
ТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании нелинейных краевых задач, описывающих процессы загрязнения и рекреации среды, отражающих наряду с диффузией адсорбцию и химические реакции, особый интерес представляют задачи типа Стефана со свободной границей и источниками, существенно зависящими от искомого поля концентрации.
Нелинейные задачи со свободными границами в экологических проблемах позволяют описать реально наблюдаемую локализацию процессов загрязнения (рекреации) окружающей среды. Нелинейность здесь обусловлена как зависимостью тензора турбулентной диффузии К, так и стоков загрязнения / от концентрации с. В первом случае пространственная локализация достигается за счет вырождения, когда при с = О и К = 0. Однако она имеет место только в данный момент времени г и при / -> оо отсутствует.
Эволюцию процессов диффузии с реакцией, стабилизирующихся к предельным стационарным состояниям с четко выделенной пространственной локализацией, позволяют описать математические модели со специальной зависимостью стоков /(с). Последняя моделирует расход вещества, обусловленный химическими реакциями дробного порядка, когда /(с) = /0с. В этом случае, независимо от вырождения коэффициента диффузии, имеет место пространственно-временная локализация диффузионного возмущения среды. В любой момент времени I локально диффузионное возмущение занимает некоторую область !□(/), ограниченную заранее неизвестной свободной поверхностью Г(?). Поле концентрации с{рр) при этом представляет собой диффузионную волну с фронтом Г(Н, распространяющуюся по невозмущенной среде, где с
Вполне естественно, что эти качественные эффекты можно получить только на основании нелинейного подхода к моделированию процессов с реакцией.

Однако такой подход сопряжен со значительными математическими трудностями при исследовании возникающих здесь нелинейных задач со свободными границами, когда определению подлежит пара функций - поле концентрации с(р, t) и свободная граница Г(7) = {(p,t): с(р,t) = О}. Такие задачи, как уже отмечалось, относятся к более сложным, мало исследованным задачам математической физики.
Значительно меньше исследований проведено для краевых задач со свободными границами в виду их сложности, которая связана как с их нелинейностью, так и с тем, что они требуют априорного задания топологических характеристик искомых полей. Среди работ, в которых рассматриваются вопросы разрешимости таких задач, следует отметить работы A.A. Самарского, O.A. Олейник, С.А.Каменомосткой, и др. При некоторых ограничениях на заданные функции в работах А.А.Березовского, Е.С. Сабининой доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи со свободной границей для уравнения теплопроводности.
Не менее важное значение имеет разработка эффективных методов приближенного решения задач указанного класса, что позволит установить функциональные зависимости основных параметров процесса от входных данных, дающие возможность рассчитывать и прогнозировать эволюцию рассматриваемого процесса.
В связи с быстрым совершенствованием вычислительной техники все большее развитие получают эффективные численные методы решения таких задач. К ним относятся метод прямых, проекционно-сеточный метод, развитый в работах Г.И.Марчука, В.И.Огошкова. В последнее время успешно применяется метод фиксированных полей, основная идея которого заключается в том, что фиксируется подвижная граница и на ней задается часть известных краевых условий, решается полученная краевая задача, а затем, пользуясь оставшимися краевыми и полученным решением, находится новое, более точное положение свободной границы и т. д. Задача нахождения свободной границы при этом сводится к последующему

7. Монотонность оператора А и теорема единственности решения задачи для поверхностей уровня Полагая в (2.34) о = г1-г2 в первый раз г = ги а второй г = г2 приходим к двум равенствам

ЦсбсфДг, -гг )Аг1сІс = |<іс

№хё>’

{гх-г2К51 тгх,п)іІ-

ФА к,-**)
с/с-
- Я(21
сЬссІу,
(2.37)
ЦсйсфД - г2)Аг7с1с = сіс
(г,- г2К5/тг2,п)А1

\dxdyj в о
,(г, -22ЧЛ)-К-г*)

(2.38)
Вычитывая (2.38) из (2.37), приходим к следующему соотношению:

-22Ус= |С(ХУг(2, - 2гп2х -22)я?/-
о ад
- ||сЬсф|
-22),Уг(2, -г2))-К-(гк 22с)+{т,-с-г2с)
(У)2

(Угх)2 (У22)2

42С У
сіхсіу.
(2.39)
Рассмотрим второй интеграл в правой части равенства (2.39) и распишем подынтегральное выражение, предварительно вынося К за скобки
(УМ -г2УМ -*2))--—~ (*іс -г2с)+-(г1с -г2с)
21с 22с
іУ-2ґ