Разноостные уравнения и интегрируемые системы

• Автор: Забродин, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 274 с.

Моим родителям Лагодзинской Галине Валентиновне Забродину Владимиру Алексеевичу
Содержание
0 Введение
0.1 Краткий исторический очерк
0.2 Основные понятия и методы, используемые в диссертации
0.2.1 Понятия и методы классической теории
0.2.2 Понятия и методы квантовой теории
0.3 Содержание работы
1 Анзац Бете в проблеме Азбеля-Хофштадтера
1.1 Введение и основной результат
1.1.1 Общее описание модели
1.1.2 Уравнение Харпера и зонная структура спектра
1.1.3 Основной результат
1.2 Две специальные калибровки
1.3 Квантовая алгебра П?(з/2)
1.3.1 Общие сведения и функциональная реализация представлений спина

1.3.2 Представления П?(з/2) при q равном корню из
1.4 Представление Е/д(.2) магнитными трансляциями
1.5 Функциональный анзац Бете
1.6 Циклические представления {/,(з/2) в проблеме Азбеля-Хофштадтера
1.7 Некоторые точные результаты для анизотропного случая и уравнения Бете для краев зон в изотропной модели
1.8 Разное
1.8.1 д-Аналоги классических ортогональных полиномов как точные волновые функции с нулевой энергией

1.8.2 ич{$12) как алгебра симметрии
1.9 Выводы и результаты. Обсуждение результатов
2 Разностные уравнения, связанные с д-деформациями [/(з/2)
2.1 Вводные замечания
2.2 Разностные операторы второго порядка, связанные с {73(з/2)- Общий случай
2.2.1 Линейные формы
2.2.2 Квадратичные формы
2.3 Разностные операторы второго порядка связанные с ?7?(5/2). Треугольные операторы и операторы первого порядка
2.3.1 Треугольные операторы и д-гипергеометрические уравнения
2.3.2 Алгебра, объединяющая треугольные операторы и операторы первого порядка
2.4 Периодические разностные уравнения и группа магнитных трансляций
2.5 Разностные уравнения, имеющие решения в симметрических лорановских полиномах и полиномах Аски-Вильсона
2.6 Выводы и результаты
3 Разностные и дифференциальные операторы с частично алгебраическим спектром в рамках КМОЗ
3.1 Вводные замечания
3.2 Элементарные Р-операторы и квантовые алгебры
3.3 Общие свойства матриц монодромии для интегрируемых систем с границами
3.4 Тригонометрический случай
3.5 Рациональный предел
3.5.1 Дифференциальные операторы второго порядка с частично алгебраическим спектром
3.5.2 Присоединенное действие группы 5Р(2)

кой решетке в магнитном поле, которую иногда называют проблемой Азбеля-Хофштад-тера. Он основан на связи между группой магнитных трансляций на решетке и квантовой алгеброй ид{з12), которая установлена в главе 1. Это дало возможность найти решение проблемы Азбеля-Хофштадтера для рациональных значений магнитного потока (который определяет параметр ’’квантовой” деформации д). В этом случае спектр содержит конечное число зон, равное знаменателю несократимой дроби, в виде которой записывается магнитный поток. В специальной калибровке гамильтониан модели записывается в виде разностного оператора второго порядка на одномерной решетке (задача на его собственные значения известна как уравнение Харпера). Метод, использованный для его диагонализации, аналогичен функциональному анзацу Бете. Основной результат заключается в том, что энергии состояний в ’’серединах” и краях зон и их блоховские волновые функции выражены в терминах решений уравнений Бете, типичных для квантовых интегрируемых систем. Кроме того, волновая функция, отвечающая состоянию с нулевой энергией (нулевая мода), выражена через д-деформации классических ортогональных полиномов.
В главе 2 дано систематическое исследование разностных операторов второго порядка по одной переменной, обладающих скрытой алгебраической симметрией, и обобщающих уравнение Харпера. Мотивировкой общих рассмотрений этой главы послужил вопрос о том, существуют ли другие варианты моделей типа Азбеля-Хофштадтера, гамильтонианы которых поддаются диагонализации функциональным анзацем Бете и вместе с тем достаточно реалистичны. (Некоторые такие гамильтонианы предъявлены в этой главе; они отвечают моделям на решетках других типов, возможно, при наличии анизотропии.)
В рассмотрение вводится класс разностных (дискретных) операторов на прямой, которые обладают свойством частичной ’’алгебраизации” спектра. Они имеют конечномерное инвариантное подпространство, образованное полиномами, т.е. собственные функции алгебраической части спектра являются полиномами. Корни этих полиномов удовлетворяют уравнениям анзаца Бете и определяют спектр. Существование и явный вид таких операторов следует из теории представлений алгебры (5/2) - квантовой деформации алгебры 5/2. Во параграфе 2.2 они представлены как однородные квадратич-