Контрастные структуры типа ступеньки в случае кратного корня уравнения для линии или точки перехода

• Автор: Кирюшин, Валерий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Содержание
Введение
Краткое содержание работы
Глава 1. Одномерная контрастная структура типа ступеньки
в некритическом случае
§1. Асимптотическое разложение и теорема существования контрастной структуры типа ступеньки в некритическом случае
1. Постановка задачи
2. Построение асимптотики контрастной структуры
3. Вспомогательные задачи
4. Теорема существования
§2. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки
в некритическом случае
1. Постановка задачи
2. Построение асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции
3. Обоснование асимптотики
§3. Пример
Глава 2. Одномерная контрастная структура типа ступеньки
в критическом случае
§1. Асимптотическое разложение и теорема существования контрастной структуры типа ступеньки в критическом случае
1. Постановка задачи
2. Построение асимптотики контрастной структуры
3. Вспомогательные задачи
4. Теорема существования
§2. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки
в критическом случае
1. Постановка задачи
2. Построение асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции
3. Обоснование асимптотики
Глава 3. Двумерная контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае
§1. Асимптотическое разложение и теорема существования двумерной контрастной структуры типа ступеньки

1. Постановка задачи
2. Построение асимптотики контрастной структуры
3. Построение верхнего и нижнего решений. Теорема существования
§2. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерной контрастной структуры типа ступеньки
1. Постановка задачи
2. Оценка собственных значений задачи Штурма-Лиувилля
3. Локальная единственность двумерной контрастной структуры типа ступеньки
Заключение
Список литературы

Введение
Теория сингулярных возмущений за последние десятилетия стала неотъемлемой частью математической физики. Зародившись еще в начале века при решении отдельных прикладных задач, она, благодаря известным работам А.Н.Тихонова конца 40-х — начала 50-х годов (см. [1]), превратилась в одно из крупнейших направлений в области дифференциальных уравнений и их приложений к задачам физики, химии, биологии.
К настоящему времени разработаны разнообразные методы исследования различных классов сингулярно возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [2]—[10], метод усреднения [11], метод регуляризации [12], методы теории релаксационных колебаний [13],[14], метод сращивания асимптотических разложений [15],[16], методы типа ВКБ [17],[18] и другие.
В последние годы ведутся активные исследования сингулярно возмущенных задач, решения которых имеют внутренние переходные слои. Такие решения получили название контрастных структур. Повышенное внимание к контрастным структурам объясняется не только теоретическим интересом, но также их высокой прикладной значимостью: они возникают в задачах химической кинетики, синергетики, биологии и биофизики, астрофизики, лазерной оптики, теории фазовых переходов, теории автосолитонов.
Различают контрастные структуры типа ступеньки и контрастные структуры типа всплеска. Определим эти понятия на примере краевой задачи
где е > 0 — малый параметр, А — оператор Лапласа.
Контрастной структурой типа ступеньки называется такое решение задачи (В.1), которое по разные стороны от некоторой кривой С, лежащей в области Л, близко при малых е к различным решениям й — 1(2) ий = 2(я) вырожденного уравнения
Тем самым В окрестности кривой С происходит быстрый переход ОТ (р{х) к 12(ж)
образуется “ступенька”. Саму кривую С называют кривой (или линией) перехода.
Контрастной структурой типа всплеска называется такое решение задачи (В.1), которое близко при малых е к какому-то решению й = <р(х) уравнения (В.2) всюду внутри области Л, за исключением малой окрестности некоторой кривой С; в этой
е2 А и = /(и, ж), х € И С М2, “1э о = ?(*)>
(В.1)
f(u, х) = 0.
(В.2)

Существование решений и г>(+) задач (1.100) и (1.101) обеспечивается леммой 1.1 из §1. В соответствии с этой леммой имеет место следующая асимптотика решений:
уЫ(х,е) = г) + ... + (уГЧг) + Шк+1$ где функции фц(т), i = 0,1
функции Р)(г) определяются выражениями (1.83) и (1.84).
По построению г>(-) непрерывно переходит в в точке ж = ж*. Для разности Дг/ = “(ж*, е)—г?(+)'(ж*, е) производных по ж в точке ж* с учетом явных выражений для дг;, уравнений относительно коэффициентов А, ряда (1.64) и равенства (1.86) получаем
л»Ч{е<(о)-] + ([(о)-(о>1 +
+ О (()*+2)} = & {н#' [А( (Р(~т - Р<+)'№) - В.] +
+ (ч/+1 [(А*+1 + <5) (РН'(о) - Р<+>'(0)) - Вк+1] + О (шк+2) }
Гф2М* + о((у).
Так как / Ф2(т)дт ф 0, то полагая 8 = 8 > 0, а затем 8 = 62 < 0, получим при достаточно малых е значения Ли' разных знаков. Следовательно, существует такое 8 = 8(е), что Дг/ = 0. Ясно, что £(г) = 0(у/е). При 8 = 8(е) решения и гладко переходят одно в другое в точке ж*, образуя тем самым непрерывную и непрерывно дифференцируемую на отрезке [0,1] собственную функцию ц(ж,е):
( ц(-)(ж,£), 0 < ж < ж*,
и(ж,е) = <
1 ц(+)(ж,£), Ж* < Ж < 1.
В силу (1.102) для ц(ж,е) имеет место асимптотическое представление (1.99). Соответствующее Собственное значение имеет вид
А = £3/2Аз + . + (у/ё)кк + (л/)*1 (А*4-1 + <(е))

А = е3'23 + ... + (л/А* + О ((уД)к+1)