Построение моделей теории поля на пространствах с ковариантной некоммутативной геометрией

• Автор: Бибиков, Пётр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 80 с.

Содержание
Введение
1 Некоммутативная геометрия в подходе А. Конна
1.1 Определение квантового пространства на основе К-цикла
1.2 Построение квантового комплекса де-Рама на основе оператора Дирака
1.3 Физические поля в рамках подхода А. Конна
1.4 Хиггсовский бозон в интерпретации А. Конна
2 Некоммутативная геометрия пространств обладающих квантовой симметрией
2.1 Роль квантовой симметрии в некоммутативной геометрии
2.2 Необходимые сведения из теории квантовых групп
и однородных пространств
2.3 Квантовая группа 5ЪГ?(2) и квантовая алгебра Ли ьпц(2)
2.4 Квантовая двумерная сфера
2.5 к,-деформация группы Пуанкаре и пространства Мин-ковского
3 Дифференциальное исчисление в пространствах обладающих квантовой симметрией
3.1 Квантовый комплекс де Рама
3.2 Квантовый комплекс де-Рама на 577?(2)
3.3 Квантовый комплекс де-Рама на /г-деформации пространства Минковского

3.4 Алгебра дифференциальных операторов на квантовой группе 577,(2)
3.5 Алгебра дифференциальных операторов на квантовом пространстве Минковского
3.6 Проблема оператора Дирака в некоммутативной геометрии
4 Оператор Дирака и теория поля на однородных пространствах квантовых групп
4.1 Формула квантового дифференциала с точки зрения теории расслоений
4.2 Оператор Дирака на однородных пространствах квантовых групп
4.3 Уравнения и лагранжианы физических полей
5 Примеры уравнений и лагранжианов физических полей на конкретных квантовых пространствах
5.1 Квантовая группа 517,(2)
5.2 к-деформация пространства Минковского
5.3 Изучение спектральных характеристик оператора Дирака на квантовой группе 56*,(2)
Библиография

Введение
Некоммутативная геометрия (НГ) представляет собой достаточно обширную область математики, интенсивно разрабатываемую в последние 15 несколькими группами исследователей в разных странах мира [1]-[10].
Предпосылкой к созданию НГ явилась известная теорема Гель-фанда и Наймарка [1],[11],[12] о том, что всякая коммутативная С*-алгебра является алгеброй непрерывных функций на компактном топологическом пространстве. Наиболее простое и удобное для физически ориентированного читателя введение в круг этих вопросов, с нашей точки зрения, приведено в [12]. Мы приведем лишь основные детали, которые потребуются для дальнейшего изложения.
Напомним, что С*-алгеброй А называется банахова *-алгебра с дополнительным свойством
||т*.г|| = ||т||2 (1)
для всех х G А.
Важнейшим объектом связанным с алгеброй А является ее двойственное пространство А*, т.е. пространство непрерывных линейных функционалов на А с нормой, определенной для каждого / £ А* согласно
ll/ll sup{f(x)] ;||j;|| = 1} (2)
На пространстве А* существуют две естественные топологии, равномерная и слабая*. Для формулировки основной теоремы 11 коммутативной” геометрии нам понадобится слабая* топология, в которой система окрестностей точки t & А задается конечным V набором элементов Х
U(t;xl7..,xn) =t;te А*, ||?(жг) - %»)||
где д вещественный параметр по модулю меньший единицы. Коумножение, коединица и антипод задаются формулами:
Д(а) = а 0а — -6® 6*, Д(6) = а ® 6 + 6 ® а*,
Д(6*) = 6*®а + а*®6*, Д(а*) = —-6* ® 6 +а* ® а,

е(а) = 1, £{Ь)= 0, (2.21)

5(й)
5(6) = --6, 5(а*) = а,
5(6*) = -дб*.
Для записи определяющих соотношений (2.20),(2.21) чрезвычайно удобным оказался, разработанный сотрудниками Ленинградской математической школы Я-матричный формализм. Введем матрицу генераторов:

а о -І6* а*
(2.22)
Теперь уравнения (2.20),(2.21) можно представить в компактной матричной записи
Ш{Г2
Д(Г)
тая,
Г® Г,
е(Г) = /2,
5(Т)

6* а
(2.23)
(2.24)
Здесь Тх = Т ® /2, а Г2 = /2 ® Т где /2 означает единичную 2 ® 2 матрицу, а Я-матрица

/ 9 0 0 0 0 А 1 0 0 10 0 о о о 5)
(2.25)
удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера в форме группы кос:
(к ® Я)(Я ® /2)(/2 (8) Я) = (Я ® /2)(/2 ® Я)(Я 0 /2). (2.26)