Контрастные структуры в нелинейных сингулярно возмущенных системах

• Автор: Давыдова, Марина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Глава 1. Нелинейное сингулярно возмущенное уравнение
второго порядка
§ 1. Контрастная структура типа ступеньки
§2. Контрастная структура типа всплеска
§3. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае
Приложение 1
Глава 2. Нелинейная система сингулярно возмущенных
уравнений первого порядка
§ 1. Контрастные структуры в системе сингулярно возмущенных уравнений в некритическом случае
§2. Контрастные структуры в системе сингулярно возмущенных уравнений в критическом случае
Приложение 2
Глава 3. Квазилинейное сингулярно возмущенное уравнение
второго порядка
§ 1. Существование погранслойного решения
§2. Контрастная структура типа ступеньки
Приложение 3
Заключение
Литература

В последнее время, в связи с потребностями некоторых прикладных областей (химическая кинетика, теория полупроводников, нелинейная оптика, математическая биофизика и т. д.), возрос интерес к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных (сингулярно возмущенные системы). В общем случае нелинейность системы затрудняет точное решение задачи и выражение решения через известные функции или квадратуры от них. Однако, благодаря наличию малых параметров, удается применить асимптотические методы при изучении ряда задач. Так, используя метод пограничных функций [4], во многих случаях можно построить асимптотику погранслойных решений и доказать существование этих решений.
В основе метода пограничных функций лежит идея о построении асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной задачи по малому параметру, близкого к решению вырожденной задачи во внутренних точках области и удовлетворяющего граничным условиям за счет введения в асимптотику, так называемых, пограничных функций, которые экспоненциально малы внутри области. Благодаря своей простоте метод является весьма эффективным в отношении исследования широкого класса задач, начиная с простейших задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и заканчивая весьма сложными задачами для уравнений в частных производных [22]. Более того, этот метод применим для изучения особого класса решений - контрастных структур [1,2].
Контрастной структурой называется такое решение сингулярно возмущенной краевой задачи, которое помимо пограничных слоев, локализованных в окрестности границы, обладает внутренним слоем, локализованным в окрестности одной из внутренних точек области. Ряд результатов по теории контрастных с труктур получен в [2, 6, 7, 22,26].
Предметом изучения в настоящей диссертации явились контрастные структуры, возникающие в системе двух нелинейных сингулярно возмущенных

уравнений первого порядка, а также в нелинейных уравнениях второго порядка, содержащих малые параметры при первой и второй производных.
Перечислим основные пели работы.
1. Применение метода пограничных функций для построения формальной асимптотики решений в виде контрастных структур в случае:
а) сингулярно возмущенного нелинейного уравнения второго порядка, содержащего малый параметр // при первой производной и малый параметр ц2 при второй производной (некритический и критический случаи, а также случай решения типа всплеска);
б) системы двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнений первого порядка (некритический и критический случаи);
в) квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметром /л2 при второй производной и малым параметром д/// при первой производной.
2. Выявление зависимости типа контрастной структуры от особенностей системы и демонстрация этой зависимости на конкретных примерах.
3. Доказательство существования решений и оценка остаточных членов асимптотик.
Диссертация содержит три главы.
Рассмотрим задачу
Е1У" = Р(Ю>',У,Х), 0 < X < 1,
у(а,£,м) = у°, уф,£,р)=у где е > О, (I > 0 - малые параметры.

Используя первый интеграл присоединенной системы, получаем уравнение сепаратрисы, проходящей через седло Мх (0,0):
?2 =2ехр(2У)(-У’/3 + а(х)Уг/2)
(2.3)
Из (2.3) следует, что на фазовой плоскости (у,г) возникает симметричная, относительно оси у, петля. Заметим, что так как г(у/{х)) = 0, то из этого условия следует, что у/(х) = За(х)/2
В заключение, проверим требование 5:
Итак, функция р(т) является ограниченной при т —» ±со.
Пример 2.2 (несимметричный случай):
^У" = -у(у-а(х))(Ю’'+1Х «(>.) > 0. у(а,ц) = у(Ь,/л) = 0.
Вырожденное уравнение имеет два корня (р{ (х) = 0, (рг (д:) = а(х).
Далее, ТГДО^Дх),*) = д(л:) > 0, 7^(0,<р2(х),х) = -а(х) < 0.
Соответствующая присоединенная система уравнений имеет вид
(В/с(т=-у(у-а(х))(г +1), (1у((1т = г.
Используя первый интеграл присоединенной системы, получаем уравнение сепаратрисы, проходящей через седло Мх (0,0):
2-1п(1 + ?) = -у73-а(г)у2/2.
(2.5)